数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

W 汎関数・μ・ν

定義 5.1（「ポアンカレ予想 II」§5）

向き付けられた閉 nn 次元多様体 MM 上の Riemann 計量 gg、滑らかな関数 ff、実数 τ>0\tau\gt0 に対し、u=(4πτ)−n/2e−fu=(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f} と置いて

W(g,f,τ)=∫M[τ(R+∣∇f∣2)+f−n] u dV\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int_M\bigl[\tau\bigl(R+|\nabla f|^2\bigr)+f-n\bigr]\,u\,dV

と定める。さらに

μ(g,τ)=inf⁡{W(g,f,τ): f∈C∞(M), ∫Mu dV=1},ν(g)=inf⁡τ>0μ(g,τ)\mu(g,\tau)=\inf\Bigl\{\mathcal{W}(g,f,\tau):\ f\in C^\infty(M),\ \int_Mu\,dV=1\Bigr\},\qquad \nu(g)=\inf_{\tau\gt0}\mu(g,\tau)

と定める。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。