Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross

0. この記事の要点

関数の値が場所によってどれだけ散らばるかを、関数の傾き（変化の激しさ）だけから押さえられないか、という話です。傾きがゆるやかな関数は平均の近くに集まるはず、という素朴な見込みを、確率測度ごとに不等式として書いたものが本章の主役です。読み終えると、ポテンシャルがお椀型（強い意味で凸）の測度でこの不等式が次元によらない定数で成り立つ理由と、その道具立てが追えるようになります。

• 確率測度 $\mu$ の Poincaré 不等式 $\mathrm{Var}_\mu(f)\le C\int|\nabla f|^2d\mu$ と対数 Sobolev 不等式（LSI）$\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le2C\int|\nabla f|^2d\mu$ は、「勾配が小さい関数はほとんど定数」という定量的な主張です。LSI は Poincaré 不等式を導き（命題 2.3）、Gauss 型の集中不等式や力学の指数的な緩和を与えます。
• Prékopa–Leindler の不等式（定理 3.1）は Brunn–Minkowski の不等式の関数版で、対数凹な関数の積分の凹性を表します。本章ではこれを道具の中心に置きます。
• Bakry–Émery 判定（定理 4.2）: $\mu=e^{-V}dx/Z$ で $\nabla^2V\ge\rho I$（$\rho>0$）なら、$\mu$ は定数 $1/\rho$ の LSI を満たします。次元によらない定数で、$V=|x|^2/2$ が Gauss 測度の Gross の不等式です。証明は Prékopa–Leindler と inf 畳み込みによる Bobkov–Ledoux の方法で与えます。
• Brascamp–Lieb 不等式（定理 5.1）: 同じ仮定で $\mathrm{Var}_\mu(f)\le\int\langle(\nabla^2V)^{-1}\nabla f,\nabla f\rangle d\mu$。Gauss 測度と 1 次関数で等号です。これも Prékopa–Leindler の 2 次の展開から出ます。
• Holley–Stroock の摂動（定理 6.1）は有界な摂動 $W$ で定数が $e^{\operatorname{osc}W}$ 倍にしか悪くならないこと、Gross の定理（定理 7.2）は LSI と超縮小性 $\|P_tf\|_{q(t)}\le\|f\|_p$ の同値性です。後者は Nelson の超縮小性の抽象的な形です。

この記事で使う事前知識

• 分散: 確率変数が平均の周りでどれだけ散らばるかを表す量（平均からのずれの 2 乗の平均）。→ 分散
• 凸関数: 2 点を結ぶ線分がグラフの上側にある関数。ポテンシャルの 2 階微分が下から $\rho>0$ で押さえられる強凸性が、本章の「お椀型」の意味です。→ 凸集合・凸関数
• Gibbs 測度: 格子上で、各有限領域の条件付き分布が相互作用（仕様）から定まる確率測度。→ Gibbs 測度
• 定常分布: 時間発展で変わらない分布。→ 定常分布・可逆性
• レート行列: 連続時間の Markov 連鎖の推移の速さを並べた行列。第 7 節で使います。→ レート行列

1. 動機

DLR 条件の章 では Gibbs 測度の一意性を、Peierls の章 ではその破れを扱いました。一意な場合に次に問うべきことは、どのくらい強く一意なのか、です。たとえば Gibbs 測度を定常分布にもつ確率力学（Glauber 力学、Langevin 方程式）は平衡にどれだけ速く近づくか、観測量の値はどれだけ平均の周りに集中するか。これらに答えるのが関数不等式です。

Poincaré 不等式の最良定数はスペクトルギャップの逆数で、$L^2$ での指数的な緩和の速さを与えます（有限状態の Markov 連鎖では Markov 連鎖と Poisson 過程 の 命題 6.2［Markov 連鎖と Poisson 過程］）。対数 Sobolev 不等式は Gross（1975）が場の理論の文脈で導入したもので、次元に依存しない点で Lebesgue 測度の Sobolev 不等式と異なり、無限次元の Gauss 測度や格子スピン系に向いています。Gross はさらに、LSI が半群の超縮小性（Nelson 1973）と同値であることを示しました。構成的場の理論で $P(\phi)_2$ のハミルトニアンの下界を示すのに使われたのがこの超縮小性です（Wick 積と Nelson の評価、Gauss 解析の道具）。

本章では、Gauss 測度に限らない対数凹測度のクラスで、これらの不等式を証明します。Gauss 測度の場合の Ornstein–Uhlenbeck 半群による証明は Gauss 解析の道具 にあるので、ここでは半群を使わない Prékopa–Leindler の方法を採ります。

2. 定義と基本性質

$\mu$ を $\mathbb{R}^n$ 上のボレル確率測度とします。関数のクラスとして

$$\mathcal{A}=\{c+g:\ c\in\mathbb{R},\ g\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\}$$

を使います（定数を含めるのは、$f=1+\varepsilon g$ のような摂動を扱うため）。$\mathcal{A}$ の関数は有界で、すべての階数の導関数が有界です。

定義 2.1（Poincaré 不等式と対数 Sobolev 不等式）↗

$f\ge0$ で $f\log f\in L^1(\mu)$ のとき、$f$ のエントロピーを $\mathrm{Ent}_\mu(f)=\int f\log f\,d\mu-\bigl(\int f\,d\mu\bigr)\log\bigl(\int f\,d\mu\bigr)$ とする（$0\log0=0$）。$C>0$ について

• $\mu$ が Poincaré 不等式 $\mathrm{PI}(C)$ を満たすとは、すべての $f\in\mathcal{A}$ で $\mathrm{Var}_\mu(f)\le C\int|\nabla f|^2d\mu$ となること、
• $\mu$ が対数 Sobolev 不等式 $\mathrm{LSI}(C)$ を満たすとは、すべての $f\in\mathcal{A}$ で $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le2C\int|\nabla f|^2d\mu$ となること

をいう。

エントロピーは、$f$ が定数からどれだけ離れているかを測る量だと思ってください（定数なら $0$）。分散が「ずれの 2 乗」を測るのに対し、こちらは $f\log f$ を通して測ります。対数 Sobolev 不等式で $f$ ではなく $f^2$ のエントロピーを使うのは、右辺の $|\nabla f|^2$ と次数をそろえるためです。

$u\log u$ の凸性と Jensen の不等式（定理 4.4［凸解析］）から $\mathrm{Ent}_\mu(f)\ge0$ です。どちらの不等式も、$f$ を $af+b$ に替えて両辺の振る舞いを比べると、$\mathrm{PI}$ は $f$ の平行移動と定数倍、$\mathrm{LSI}$ は定数倍について不変な形をしています。

補題 2.2（分散とエントロピーの変分表示）✓

$f\in L^2(\mu)$ について $\mathrm{Var}_\mu(f)=\inf_{a\in\mathbb{R}}\int(f-a)^2d\mu$。$g\ge0$、$g\log g\in L^1(\mu)$ について

$$\mathrm{Ent}_\mu(g)=\inf_{a>0}\int\bigl(g\log g-g\log a-g+a\bigr)\,d\mu,$$

で、被積分関数 $\psi_a(g)=g\log g-g\log a-g+a$ はつねに $0$ 以上である。

証明（補題 2.2）

前半は $\int(f-a)^2=\mathrm{Var}(f)+(\int f-a)^2$。後半は、$m=\int g\,d\mu$ とすると $\int\psi_a(g)\,d\mu=\mathrm{Ent}_\mu(g)+\psi_a(m)$ で、$u\mapsto\psi_a(u)$ は凸で $u=a$ で最小値 $0$ をとる（$\psi_a'(u)=\log(u/a)$）ので、$\psi_a\ge0$ かつ下限は $a=m$ でとられます（$m=0$ なら $g=0$ a.e. で両辺 $0$）。

∎

命題 2.3（LSI は Poincaré 不等式を導く）✓

$\mu$ が $\mathrm{LSI}(C)$ を満たせば $\mathrm{PI}(C)$ を満たす。

証明（命題 2.3）

$g\in\mathcal{A}$ と小さい $\varepsilon$ について $f=1+\varepsilon g\in\mathcal{A}$ に LSI を使います。$\Phi(u)=u\log u$ は $u=1$ の近くで $\Phi(1+s)=s+\frac{s^2}2+O(s^3)$ です。$f^2=1+s$、$s=2\varepsilon g+\varepsilon^2g^2$ とおくと（$g$ は有界なので $O$ は一様）

$$\int\Phi(f^2)\,d\mu=2\varepsilon m+3\varepsilon^2M_2+O(\varepsilon^3),\qquad\Phi\Bigl(\int f^2d\mu\Bigr)=2\varepsilon m+\varepsilon^2M_2+2\varepsilon^2m^2+O(\varepsilon^3),$$

ここで $m=\int g$、$M_2=\int g^2$。差をとると $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)=2\varepsilon^2\mathrm{Var}_\mu(g)+O(\varepsilon^3)$。右辺は $2C\varepsilon^2\int|\nabla g|^2$ なので、$\varepsilon^2$ で割って $\varepsilon\to0$ とすれば $\mathrm{Var}_\mu(g)\le C\int|\nabla g|^2$ です。

∎

3. Prékopa–Leindler の不等式

次の不等式は、2 つの関数 $u,v$ の「山」を $t$ の割合で混ぜた点での値が、$u,v$ の値の幾何平均以上だと仮定すると、積分についても同じ形の不等式が成り立つ、というものです。直感的には、$u,v$ の山を重ねてずらしながら平均した形が $w$ の山の下限になっており、その面積が $u,v$ の面積の幾何平均以上になる、と読みます。次節の Bakry–Émery 判定は、この不等式を適切な $u,v,w$ に使って得られます。

定理 3.1（Prékopa–Leindler の不等式）✓

$0<t<1$ とし、$u,v,w:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ をボレル可測関数で、すべての $x,y$ について

$$w\bigl((1-t)x+ty\bigr)\ge u(x)^{1-t}v(y)^t$$

を満たすとする。このとき $\int w\,dx\ge\bigl(\int u\,dx\bigr)^{1-t}\bigl(\int v\,dx\bigr)^t$。

証明（定理 3.1）

$n=1$. $u,v$ を $\min(u,M)$、$\min(v,M)$ に替えても仮定は保たれ、$M\to\infty$ で単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］）が使えるので、$u,v$ は有界としてよい。$\sup u=0$ か $\sup v=0$ なら右辺は $0$ です。そうでなければ $u/\sup u$、$v/\sup v$、$w/((\sup u)^{1-t}(\sup v)^t)$ に替えて $\sup u=\sup v=1$ とします。

$0<r<1$ について $A_r=\{u\ge r\}$、$B_r=\{v\ge r\}$ は空でないボレル集合で、$x\in A_r$、$y\in B_r$ なら $w((1-t)x+ty)\ge r$ なので $\{w\ge r\}\supset(1-t)A_r+tB_r$ です。空でないコンパクト集合 $K,L\subset\mathbb{R}$ について、$K+L$ は $\max K+L$ と $K+\min L$ を含み、この 2 つは 1 点 $\max K+\min L$ でしか交わらないので $|K+L|\ge|K|+|L|$。Lebesgue 測度は内正則なので（定理 5.3［Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理］、命題 5.1［Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理］）、$A_r,B_r$ の中のコンパクト集合（測度が $0$ なら 1 点）で近似して

$$|\{w\ge r\}|\ge(1-t)|A_r|+t|B_r| .$$

$\int u=\int_0^1|A_r|\,dr$（Tonelli の定理、定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）などから、$r$ について積分して

$$\int w\ge\int_0^1|\{w\ge r\}|\,dr\ge(1-t)\int u+t\int v\ge\Bigl(\int u\Bigr)^{1-t}\Bigl(\int v\Bigr)^t$$

（最後は重み付き相加相乗平均）。

$n-1\to n$. $x=(x',s)$（$x'\in\mathbb{R}^{n-1}$、$s\in\mathbb{R}$）と書き、$U(s)=\int u(x',s)\,dx'$、$V(s)$、$W(s)$ も同様に定めます（Tonelli の定理で可測）。$s_0,s_1\in\mathbb{R}$、$s=(1-t)s_0+ts_1$ を固定すると、$x'\mapsto u(x',s_0)$、$v(\cdot,s_1)$、$w(\cdot,s)$ は $n-1$ 次元の仮定を満たすので、帰納法の仮定から $W(s)\ge U(s_0)^{1-t}V(s_1)^t$。すなわち $U,V,W$ は 1 次元の仮定を満たし、$n=1$ の場合と Tonelli の定理から結論を得ます。

∎

同じ不等式は Gauss 相関不等式 でも Anderson の不等式の証明に使われています（補題 8.1［Gauss 型の相関不等式］）。$u,v,w$ を凸集合の指示関数にとれば Brunn–Minkowski の不等式 $|(1-t)A+tB|\ge|A|^{1-t}|B|^t$ です。

系 3.2（対数凹関数の周辺は対数凹）✓

$F:\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ が対数凹（$\log F$ が凹、$-\infty$ を許す）でボレル可測なら、$G(y)=\int F(x,y)\,dx$ も対数凹である。

証明（系 3.2）

$y_0,y_1$ と $y=(1-t)y_0+ty_1$ を固定し、$u=F(\cdot,y_0)$、$v=F(\cdot,y_1)$、$w=F(\cdot,y)$ とおくと、$F$ の対数凹性から $w((1-t)x_0+tx_1)\ge u(x_0)^{1-t}v(x_1)^t$。定理 3.1 から $G(y)\ge G(y_0)^{1-t}G(y_1)^t$ です。

∎

4. Bakry–Émery 判定

以下、$V\in C^2(\mathbb{R}^n)$ が $\rho>0$ について $\nabla^2V(x)\ge\rho I$（すべての $x$、行列の順序）を満たすとし、$\mu(dx)=e^{-V(x)}dx/Z$ とします。このような $\mu$ を $\rho$-強対数凹といいます。Taylor の定理から $V(x)\ge V(0)+\langle\nabla V(0),x\rangle+\frac\rho2|x|^2$ なので $Z<\infty$ です。

補題 4.1（強凸性の不等式）✓

$x,y\in\mathbb{R}^n$、$0\le t\le1$ について

$$(1-t)V(x)+tV(y)-V\bigl((1-t)x+ty\bigr)\ge\frac\rho2t(1-t)|x-y|^2 .$$

証明（補題 4.1）

$U=V-\frac\rho2|x|^2$ は $\nabla^2U\ge0$ なので凸です（線分上に制限した 1 変数関数の 2 階導関数が非負）。$U$ の凸性の不等式に、恒等式 $(1-t)|x|^2+t|y|^2-|(1-t)x+ty|^2=t(1-t)|x-y|^2$ を加えます。

∎

定理 4.2（Bakry–Émery 判定）✓

$\rho$-強対数凹な確率測度 $\mu$ は $\mathrm{LSI}(1/\rho)$ を満たす。すなわち $f\in\mathcal{A}$ について

$$\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le\frac2\rho\int|\nabla f|^2d\mu .$$

特に $\mu$ は $\mathrm{PI}(1/\rho)$ を満たす。

証明の方針は次のとおりです。(1) Prékopa–Leindler の不等式に、$e^g$ の積分と、$g$ に放物線を下から当てて作った関数 $Q_sg$（inf 畳み込み）の積分を結ぶ形で $u,v,w$ を選び、$V$ の強凸性（補題 4.1）で仮定を確かめます。(2)(3) 混ぜる割合 $t$ を $0$ の近くで動かし、$t=0$ での微分の符号からエントロピーの不等式を取り出します。(4) 最後に $g=\log(f^2+\delta)$ とおいて $f\in\mathcal{A}$ に戻します。$u,v,w$ の形は天下りに見えますが、$t\to0$ の微分でちょうど $|\nabla g|^2/(2\rho)$ の項が出るように $s(t)$ を選んだものです。

証明（定理 4.2）

(1) inf 畳み込みと Prékopa–Leindler. $g\in C^2(\mathbb{R}^n)$ を、$g$、$\nabla g$、$\nabla^2g$ が有界なものとし、$K=\sup_x\|\nabla^2g(x)\|$、$s>0$ について

$$Q_sg(x)=\inf_{z\in\mathbb{R}^n}\Bigl(g(z)+\frac{|z-x|^2}{2s}\Bigr)$$

とおきます（$|Q_sg|\le\|g\|_\infty$ で、上半連続なのでボレル可測）。$0<t<1$、$s=s(t)=\dfrac{t}{\rho(1-t)}$ として

$$w(z)=e^{g(z)-V(z)},\qquad u(x)=e^{Q_sg(x)/(1-t)-V(x)},\qquad v(y)=e^{-V(y)}$$

に 定理 3.1 を使います。$z=(1-t)x+ty$ なら $|z-x|=t|y-x|$ で、補題 4.1 から

$$(1-t)\Bigl(\frac{Q_sg(x)}{1-t}-V(x)\Bigr)-tV(y)\le g(z)+\frac{|z-x|^2}{2s}-V(z)-\frac\rho2t(1-t)|x-y|^2=g(z)-V(z),$$

（$Q_sg(x)\le g(z)+|z-x|^2/(2s)$ と、$\frac{|z-x|^2}{2s}=\frac{\rho(1-t)t}{2}|x-y|^2$ を使った）。よって仮定が成り立ち、$Z$ を約して

$$\int e^g\,d\mu\ge\Bigl(\int e^{Q_sg/(1-t)}d\mu\Bigr)^{1-t}.$$

(2) $Q_sg$ の下からの評価. $g(z)\ge g(x)+\langle\nabla g(x),z-x\rangle-\frac K2|z-x|^2$ なので、$Ks<1$ のとき

$$Q_sg(x)\ge g(x)+\inf_{h}\Bigl(\langle\nabla g(x),h\rangle+\Bigl(\frac1{2s}-\frac K2\Bigr)|h|^2\Bigr)=g(x)-\frac{s\,|\nabla g(x)|^2}{2(1-Ks)} .$$

(3) $t=0$ での微分. (1)(2) から、小さい $t>0$ について

$$\log\int e^g\,d\mu\ge\Psi(t):=(1-t)\log\int\exp\Bigl(\frac{g-s(t)|\nabla g|^2/(2(1-Ks(t)))}{1-t}\Bigr)d\mu,$$

で、$\Psi(0)=\log\int e^gd\mu$ です。$g$、$\nabla g$ は有界で被積分関数は $t$ について滑らかなので、積分記号下で微分でき、$s'(0)=1/\rho$ から

$$\Psi'(0)=-\log\int e^gd\mu+\frac{\int\bigl(g-\frac1{2\rho}|\nabla g|^2\bigr)e^gd\mu}{\int e^gd\mu}.$$

$\Psi(t)\le\Psi(0)$（$t>0$ 小）なので $\Psi'(0)\le0$、すなわち

$$\mathrm{Ent}_\mu(e^g)\le\frac1{2\rho}\int|\nabla g|^2e^g\,d\mu .$$

(4) $f\in\mathcal{A}$ へ. $\delta>0$ について $g=\log(f^2+\delta)$ は (1) の条件を満たします（$f$ はコンパクト集合の外で定数）。$|\nabla g|^2e^g=4f^2|\nabla f|^2/(f^2+\delta)\le4|\nabla f|^2$ なので $\mathrm{Ent}_\mu(f^2+\delta)\le\frac2\rho\int|\nabla f|^2d\mu$。$f$ は有界で $u\log u$ は有界区間で一様連続なので、$\delta\to0$ で左辺は $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)$ に収束します。最後の主張は 命題 2.3 です。

∎

例 4.3（Gauss 測度）

標準 Gauss 測度 $\gamma_n$ は $V(x)=|x|^2/2$、$\rho=1$ なので $\mathrm{Ent}_{\gamma_n}(f^2)\le2\int|\nabla f|^2d\gamma_n$ です。これは Gross の対数 Sobolev 不等式で、Gauss 解析の道具 では Ornstein–Uhlenbeck 半群を使って別に証明されています（定理 4.3［Gauss 解析の道具］）。共分散 $A$ の Gauss 測度では $\nabla^2V=A^{-1}\ge\|A\|^{-1}I$ なので定数は $\|A\|$ です。定数は次元 $n$ を含まず、これが無限次元（Q 空間）への移行を可能にします。

注意 4.4（半群による証明との関係）

Bakry と Émery（1985）の元の証明は、$L=\Delta-\nabla V\cdot\nabla$ の生成する半群 $P_t$ について、勾配の交換評価 $|\nabla P_tf|\le e^{-\rho t}P_t|\nabla f|$（曲率次元条件 $\Gamma_2\ge\rho\Gamma$ の帰結）を示し、$\mathrm{Ent}(f)=\int_0^\infty\int|\nabla P_tf|^2/P_tf\,d\mu\,dt$ に代入するものです。Gauss 測度の場合のこの議論は 補題 4.2［Gauss 解析の道具］ にあります。本章の Prékopa–Leindler による証明は Bobkov と Ledoux（2000）によるもので、半群の存在や正則性を必要としません。

5. Brascamp–Lieb 不等式

定理 5.1（Brascamp–Lieb 不等式）✓

$\mu$ を $\rho$-強対数凹（$\rho>0$）とする。$f\in\mathcal{A}$ について

$$\mathrm{Var}_\mu(f)\le\int\bigl\langle(\nabla^2V)^{-1}\nabla f,\nabla f\bigr\rangle\,d\mu .$$

証明の方針は、Prékopa–Leindler の不等式を $t=\frac12$ で使い、両辺を小さなパラメータ $\varepsilon$ について 2 次まで展開して比べることです。左辺側に現れる関数 $\Phi_\varepsilon$ は、中心 $z$ から両側に $h$ だけ離れた 2 点での $f$ の差と、$V$ の曲がり具合の差を比べて上限をとったものです。これを評価すると $\varepsilon^2$ の係数に右辺の積分が出て、右辺側の展開からは分散が出ます。

証明（定理 5.1）

$H(z)=\nabla^2V(z)$、$I(f)=\int\langle H^{-1}\nabla f,\nabla f\rangle d\mu$ とおきます。$f=c+g$、$g\in C_c^\infty$ の台を $K$ とし、$L=\|\nabla f\|_\infty$、$M_3$ を $f$ の 3 階導関数の上界とします。

(1) Prékopa–Leindler（$t=\frac12$）. $\varepsilon>0$ について

$$\Phi_\varepsilon(z)=\sup_{h\in\mathbb{R}^n}\Bigl[\frac\varepsilon2\bigl(f(z+h)-f(z-h)\bigr)-B(z,h)\Bigr],\qquad B(z,h)=\frac{V(z+h)+V(z-h)}2-V(z)$$

とおきます（連続関数の上限なので下半連続、ボレル可測）。$x=z+h$、$y=z-h$ として、$u=e^{\varepsilon f-V}$、$v=e^{-\varepsilon f-V}$、$w=e^{\Phi_\varepsilon-V}$ は $w(\frac{x+y}2)\ge\sqrt{u(x)v(y)}$ を満たすので、定理 3.1 から

$$\int e^{\Phi_\varepsilon}d\mu\ge\Bigl(\int e^{\varepsilon f}d\mu\int e^{-\varepsilon f}d\mu\Bigr)^{1/2}.$$

(2) 右辺の展開. $f$ は有界なので、$m=\int f$、$M_2=\int f^2$ として $\int e^{\pm\varepsilon f}d\mu=1\pm\varepsilon m+\frac{\varepsilon^2}2M_2\pm O(\varepsilon^3)$。積は $1+\varepsilon^2(M_2-m^2)+O(\varepsilon^3)$ で、右辺は $1+\frac{\varepsilon^2}2\mathrm{Var}_\mu(f)+O(\varepsilon^3)$ です。

(3) $\Phi_\varepsilon$ の評価. Taylor の定理と $\nabla^2V\ge\rho I$ から $B(z,h)\ge\frac\rho2|h|^2$、また $\frac12|f(z+h)-f(z-h)|\le L|h|$。よって $|h|>r_\varepsilon:=2\varepsilon L/\rho$ では括弧内は負で、$h=0$ では $0$ なので

$$\Phi_\varepsilon(z)=\sup_{|h|\le r_\varepsilon}[\cdots]\in\Bigl[0,\frac{\varepsilon^2L^2}{2\rho}\Bigr].$$

$\operatorname{dist}(z,K)>r_\varepsilon$ なら $|h|\le r_\varepsilon$ で $f(z\pm h)=c$ なので $\Phi_\varepsilon(z)=0$ です。$r_\varepsilon\le1$ とし、$z\in K_1=\{\operatorname{dist}(\cdot,K)\le1\}$、$|h|\le r_\varepsilon$ を考えます。Taylor の定理から

$$\frac12\bigl(f(z+h)-f(z-h)\bigr)\le\langle\nabla f(z),h\rangle+\frac{M_3}6|h|^3,\qquad B(z,h)\ge\frac12\langle H(z)h,h\rangle-\frac{\omega(|h|)}2|h|^2,$$

ここで $\omega(r)=\sup\{\|H(a)-H(b)\|:a,b\in K_2,\ |a-b|\le r\}$（$K_2$ は $K$ の 2-近傍、$H$ はその上で一様連続なので $\omega(r)\to0$）。第 2 式は $B(z,h)=\int_0^1(1-\tau)\frac12\bigl(\langle H(z+\tau h)h,h\rangle+\langle H(z-\tau h)h,h\rangle\bigr)d\tau$ から出ます。$\omega_\varepsilon=\omega(r_\varepsilon)<\rho$ のとき、2 次形式の最大値 $\sup_h(\varepsilon\langle a,h\rangle-\frac12\langle Ah,h\rangle)=\frac{\varepsilon^2}2\langle A^{-1}a,a\rangle$（$A>0$）を $A=H(z)-\omega_\varepsilon I$ に使うと

$$\Phi_\varepsilon(z)\le\frac{\varepsilon^2}2\bigl\langle(H(z)-\omega_\varepsilon I)^{-1}\nabla f(z),\nabla f(z)\bigr\rangle+\frac{\varepsilon M_3}6r_\varepsilon^3 .$$

$H(z)$ の固有値 $\lambda\ge\rho$ について $\frac1{\lambda-\omega}-\frac1\lambda\le\frac{\omega}{\rho(\rho-\omega)}$ なので、$z\in K_1$ で一様に

$$\Phi_\varepsilon(z)\le\frac{\varepsilon^2}2\langle H(z)^{-1}\nabla f(z),\nabla f(z)\rangle+\varepsilon^2\eta_\varepsilon,\qquad\eta_\varepsilon\to0 .$$

(4) まとめ. $0\le x\le1$ で $e^x\le1+x+x^2$ を使うと、$\Phi_\varepsilon\le\varepsilon^2L^2/(2\rho)$ と台の性質から

$$\int e^{\Phi_\varepsilon}d\mu\le1+\int\Phi_\varepsilon\,d\mu+\Bigl(\frac{\varepsilon^2L^2}{2\rho}\Bigr)^2\le1+\frac{\varepsilon^2}2I(f)+\varepsilon^2\eta_\varepsilon+O(\varepsilon^4).$$

(1)(2) と比べて $\varepsilon^2/2$ で割り、$\varepsilon\to0$ とすれば $\mathrm{Var}_\mu(f)\le I(f)$ です。

∎

$\nabla^2V\ge\rho I$ なら $(\nabla^2V)^{-1}\le\rho^{-1}I$ なので、Brascamp–Lieb 不等式は $\mathrm{PI}(1/\rho)$ の精密化です。曲率の大きいところでは勾配の寄与を割り引いてよい、と読めます。

例 5.2（Gauss 測度での等号）

$V(x)=\frac12\langle x,A^{-1}x\rangle$（$A>0$）なら $\mu$ は共分散 $A$ の中心化 Gauss 測度で、$\nabla^2V=A^{-1}$ です。$f(x)=\langle b,x\rangle$ について $\mathrm{Var}_\mu(f)=\langle Ab,b\rangle$、右辺も $\langle Ab,b\rangle$ で等号が成り立ちます（$f\notin\mathcal{A}$ ですが、両辺は $f\chi(\cdot/k)$ の極限として意味をもちます）。Brascamp–Lieb 不等式は「対数凹測度の分散は、同じ Hessian をもつ Gauss 測度の分散で抑えられる」という主張でもあり、格子場の理論では相互作用のある場の 2 点関数を自由場の 2 点関数で抑えるのに使われます。

6. Holley–Stroock の摂動

定理 6.1（Holley–Stroock の摂動定理）✓

$\mu$ が $\mathrm{PI}(C)$（または $\mathrm{LSI}(C)$）を満たし、$W$ が有界なボレル関数で $\nu=e^{-W}\mu/\int e^{-W}d\mu$ とする。このとき $\nu$ は $\mathrm{PI}(Ce^{\operatorname{osc}W})$（または $\mathrm{LSI}(Ce^{\operatorname{osc}W})$）を満たす。ここで $\operatorname{osc}W=\sup W-\inf W$。

証明（定理 6.1）

$Z_W=\int e^{-W}d\mu$ とおくと、$d\nu/d\mu=e^{-W}/Z_W\le e^{-\inf W}/Z_W$、$d\mu/d\nu=Z_We^{W}\le Z_We^{\sup W}$ です。LSI の場合、補題 2.2 の被積分関数 $\psi_a\ge0$ を使うと、$f\in\mathcal{A}$ について

$$\mathrm{Ent}_\nu(f^2)=\inf_{a>0}\int\psi_a(f^2)\,d\nu\le\frac{e^{-\inf W}}{Z_W}\inf_{a>0}\int\psi_a(f^2)\,d\mu=\frac{e^{-\inf W}}{Z_W}\mathrm{Ent}_\mu(f^2).$$

$\mathrm{LSI}(C)$ と $d\mu\le Z_We^{\sup W}d\nu$ から

$$\mathrm{Ent}_\nu(f^2)\le\frac{e^{-\inf W}}{Z_W}\,2C\int|\nabla f|^2d\mu\le2Ce^{\sup W-\inf W}\int|\nabla f|^2d\nu .$$

Poincaré 不等式も、$\mathrm{Var}=\inf_a\int(f-a)^2$ を使って同じ計算です。

∎

例 6.2（凸でないポテンシャル）

$\nu(dx)\propto e^{-x^2/2-\beta\cos x}dx$（$\beta>0$）は、$\beta>1$ では $V''(x)=1-\beta\cos x$ が負になる点があり強対数凹ではありません。しかし $W=\beta\cos x$ は有界で $\operatorname{osc}W=2\beta$ なので、Gauss 測度の $\mathrm{LSI}(1)$（例 4.3）から $\nu$ は $\mathrm{LSI}(e^{2\beta})$ を満たします。格子 $\phi^4$ 模型の 1 点分布 $e^{-\lambda\phi^4+a\phi^2}d\phi$（$\lambda>0$）も、凸でない部分がコンパクト集合に収まるので、強凸なポテンシャルと有界な摂動の和に書き直すことで LSI を満たすことが示せます（演習 8.4）。

注意 6.3（格子系への拡張と次元の問題）

$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ 上の連続スピン系 $\mu_\Lambda\propto\exp(-\sum_{x\sim y}J\phi_x\phi_y)\prod_x\nu(d\phi_x)$ で、相互作用全体を $W$ と見て Holley–Stroock を使うと、$\operatorname{osc}W$ が $|\Lambda|$ に比例して定数が体積とともに悪化します。体積によらない LSI を得るには、1 点ごとの LSI（直積の LSI は定数を変えずにテンソル化される）と、DLR 条件の章 の Dobrushin 型の弱依存性条件を組み合わせる議論が必要です（Zegarlinski、Stroock–Zegarlinski 1992）。そのような一様な LSI は、Gibbs 測度の一意性、相関の指数減衰、Glauber 力学の指数的な緩和と同値になることが知られています。

7. 対数 Sobolev 不等式と超縮小性（Gross の定理）

半群の言葉で LSI を見直します。微分の問題を避けるため、有限状態空間で述べます。$X$ を有限集合、$\mu$ を $X$ 上のすべての点で正の確率測度、$Q=(q(x,y))$ を $\mu$ に関して可逆なレート行列（定義 5.1［Markov 連鎖と Poisson 過程］、$\mu(x)q(x,y)=\mu(y)q(y,x)$）とし、$P_t=e^{tQ}$ とします。$Q+\Lambda I$（$\Lambda=\max_xq(x)$）は成分が非負なので $P_t=e^{-\Lambda t}e^{t(Q+\Lambda I)}$ も成分が非負で、$Q\mathbf 1=0$ から $P_t\mathbf 1=\mathbf 1$、可逆性から $Q$ と $P_t$ は $L^2(\mu)$ で自己共役です。Dirichlet 形式は

$$\mathcal{E}(f,g)=-\langle f,Qg\rangle_\mu=\frac12\sum_{x,y}\mu(x)q(x,y)\bigl(f(x)-f(y)\bigr)\bigl(g(x)-g(y)\bigr)$$

です（定義 6.1［Markov 連鎖と Poisson 過程］）。この節では $\mathrm{LSI}(C)$ を「すべての $f:X\to\mathbb{R}$ で $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le2C\,\mathcal{E}(f,f)$」の意味で使います。

補題 7.1（Dirichlet 形式の比較）✓

(i) $f>0$、$q>1$ について $\mathcal{E}(f,f^{q-1})\ge\dfrac{4(q-1)}{q^2}\mathcal{E}(f^{q/2},f^{q/2})$。

(ii) $\mathcal{E}(|f|,|f|)\le\mathcal{E}(f,f)$。

証明（補題 7.1）

(i) Dirichlet 形式は非負の重み $\mu(x)q(x,y)$（$x\ne y$）の和なので、$a,b>0$ について $(a-b)(a^{q-1}-b^{q-1})\ge\frac{4(q-1)}{q^2}(a^{q/2}-b^{q/2})^2$ を示せば十分です。$a>b$ としてよく、Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\bigl(a^{q/2}-b^{q/2}\bigr)^2=\Bigl(\frac q2\int_b^a\tau^{\frac q2-1}d\tau\Bigr)^2\le\frac{q^2}4\int_b^a\tau^{q-2}d\tau\int_b^ad\tau=\frac{q^2}{4(q-1)}\bigl(a^{q-1}-b^{q-1}\bigr)(a-b).$$

(ii) $\bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$。

∎

定理 7.2（Gross の定理（LSI と超縮小性））✓

$C>0$ について次は同値である。

(a) $\mathrm{LSI}(C)$。

(b) すべての $1<p<\infty$、$t\ge0$、$f:X\to\mathbb{R}$ について、$q(t)=1+(p-1)e^{2t/C}$ として $\|P_tf\|_{q(t)}\le\|f\|_p$。

(c) (b) が $p=2$ で成り立つ。

証明（定理 7.2）

微分の公式. $f>0$ と、$q(0)=p$ を満たす $C^1$ 関数 $q(t)>1$ について、$f_t=P_tf>0$（$P_t$ は正値で $P_t\mathbf1=\mathbf1$、$f\ge\min f>0$ から $f_t\ge\min f$）、$N(t)=\int f_t^{q}d\mu$ とおきます。$\partial_tf_t=Qf_t$ と $\int f_t^{q-1}Qf_t\,d\mu=-\mathcal{E}(f_t^{q-1},f_t)$ から

$$\frac{d}{dt}\log\|f_t\|_{q}=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac1q\log N\Bigr)=\frac{q'}{q^2N}\,\mathrm{Ent}_\mu(f_t^{q})-\frac1N\,\mathcal{E}(f_t,f_t^{q-1}).$$

（$\frac{dN}{dt}=q'\int f_t^q\log f_t+q\int f_t^{q-1}Qf_t$ を代入し、$q\int f^q\log f=\int f^q\log f^q$ で整理した。）

(a)⇒(b). $f>0$ とし、$g=f_t^{q/2}$ に LSI と 補題 7.1 (i) を使うと

$$\frac{d}{dt}\log\|f_t\|_q\le\frac{\mathcal{E}(g,g)}{q^2N}\bigl(2Cq'-4(q-1)\bigr).$$

$q(t)=1+(p-1)e^{2t/C}$ は $q'=2(q-1)/C$ を満たすので右辺は $0$ で、$\|P_tf\|_{q(t)}\le\|f\|_p$。一般の $f$ では、$P_t$ の正値性から $|P_tf|\le P_t|f|\le P_t(|f|+\delta)$ で、$\delta\downarrow0$ とします。

(b)⇒(c) は自明です。

(c)⇒(a). $f>0$、$p=2$、$q(t)=1+e^{2t/C}$ とすると、$F(t)=\log\|P_tf\|_{q(t)}$ は $F(t)\le F(0)$ で微分可能なので $F'(0)\le0$。$q(0)=2$、$q'(0)=2/C$ を微分の公式に入れると

$$\frac{1}{2C\,N(0)}\mathrm{Ent}_\mu(f^2)-\frac{1}{N(0)}\mathcal{E}(f,f)\le0 ,$$

すなわち $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le2C\mathcal{E}(f,f)$。$f\ge0$ には $f+\delta$ で近似し、一般の $f$ には $\mathrm{Ent}(f^2)=\mathrm{Ent}(|f|^2)\le2C\mathcal{E}(|f|,|f|)\le2C\mathcal{E}(f,f)$（補題 7.1 (ii)）を使います。

∎

超縮小性は「時間 $t$ だけ半群を走らせると、関数の可積分性が $L^p$ から $L^{q(t)}$ へ改善される」という主張です。Gauss 測度と Ornstein–Uhlenbeck 半群（$C=1$）に対しても、上の証明は積分記号下の微分を正当化するだけでそのまま通り、Nelson の超縮小性 $\|P_tf\|_{1+(p-1)e^{2t}}\le\|f\|_p$ になります。その正当化を含む完全な証明が 定理 4.5［Gauss 解析の道具］ で、Fock 空間の数作用素 $N$ による形が 定理 6.1［ガウス測度と Q 空間表示］ です。

注意 7.3（2 点空間と Gross の元の証明）

$X=\{-1,1\}$、$\mu$ が一様、$q(x,y)=\frac12$（$x\ne y$）なら $\mathcal{E}(f,f)=\frac14(f(1)-f(-1))^2$ で、Gross（1975）はこの連鎖が $\mathrm{LSI}(1)$ を満たすことを示しました。LSI は直積でテンソル化されるので $\{-1,1\}^N$ でも $\mathrm{LSI}(1)$ が成り立ち、中心極限定理で $N^{-1/2}\sum\sigma_i$ の極限をとると Gauss 測度の $\mathrm{LSI}(1)$ が得られます。これが Gross の元の証明の道筋で、本章の Bakry–Émery 判定はこれとは独立な証明を与えています。

8. 演習

演習 8.1易

$\mu=N(0,\sigma^2)$（1 次元）と $f(x)=x^2$ について Brascamp–Lieb 不等式の両辺を計算し、不等式が成り立つが等号ではないことを確かめてください（$f\notin\mathcal{A}$ ですが両辺は有限です）。

解答

$V(x)=x^2/(2\sigma^2)$、$V''=\sigma^{-2}$。左辺は $\mathrm{Var}(x^2)=E[x^4]-(E[x^2])^2=3\sigma^4-\sigma^4=2\sigma^4$、右辺は $\int\sigma^2(2x)^2d\mu=4\sigma^4$。$2\sigma^4<4\sigma^4$ です。等号は 1 次関数でだけ成り立ちます（Hermite 展開で見ると、$n$ 次の成分は右辺で $n$ 倍に数えられる）。

演習 8.2標準

$\mu_1,\mu_2$ がそれぞれ $\mathbb{R}^{n_1},\mathbb{R}^{n_2}$ 上で $\mathrm{PI}(C_1)$、$\mathrm{PI}(C_2)$ を満たすとき、直積 $\mu_1\otimes\mu_2$ は $\mathrm{PI}(\max(C_1,C_2))$ を満たすことを示してください（$\mathbb{R}^{n_1+n_2}$ 上の $f\in\mathcal{A}$ について、一方の変数を固定した関数にそれぞれの不等式を使ってよい）。

解答

$f(x,y)$ について $\bar f(y)=\int f(x,y)\mu_1(dx)$ とおくと、分散の分解

$$\mathrm{Var}_{\mu_1\otimes\mu_2}(f)=\int\mathrm{Var}_{\mu_1}\bigl(f(\cdot,y)\bigr)\mu_2(dy)+\mathrm{Var}_{\mu_2}(\bar f)$$

が成り立ちます（$\int\!\!\int(f-\bar f+\bar f-m)^2$ を展開すると交差項は $x$ について積分して $0$）。第 1 項は $\le C_1\int\!\!\int|\nabla_xf|^2$。第 2 項は $\bar f$ に $\mathrm{PI}(C_2)$ を使い、$|\nabla_y\bar f|^2=|\int\nabla_yf\,d\mu_1|^2\le\int|\nabla_yf|^2d\mu_1$（Jensen）から $\le C_2\int\!\!\int|\nabla_yf|^2$。合わせて $\max(C_1,C_2)\int|\nabla f|^2$ 以下です（$f(\cdot,y)$ と $\bar f$ は $\mathcal{A}$ に属します）。

演習 8.3標準

$\mu$ が $\mathrm{LSI}(C)$ を満たし、$f\in\mathcal{A}$ が $|\nabla f|\le1$ を満たすとき、すべての $\lambda\in\mathbb{R}$ について

$$\int e^{\lambda(f-\int fd\mu)}d\mu\le e^{C\lambda^2/2}$$

を示し（Herbst の議論）、$\mu(f-\int f\,d\mu\ge r)\le e^{-r^2/(2C)}$ を導いてください。

解答

$H(\lambda)=\int e^{\lambda f}d\mu$ とします。LSI を $e^{\lambda f/2}\in\mathcal{A}$（$f$ は $\mathcal{A}$ に属し、合成は外で定数）に使うと、$|\nabla e^{\lambda f/2}|^2=\frac{\lambda^2}4|\nabla f|^2e^{\lambda f}\le\frac{\lambda^2}4e^{\lambda f}$ から

$$\lambda H'(\lambda)-H(\lambda)\log H(\lambda)=\mathrm{Ent}_\mu(e^{\lambda f})\le\frac{C\lambda^2}2H(\lambda).$$

$K(\lambda)=\lambda^{-1}\log H(\lambda)$（$\lambda\ne0$）とおくと、左辺を $\lambda^2H$ で割った式は $K'(\lambda)\le C/2$ です。$\lambda\to0$ で $K(\lambda)\to H'(0)/H(0)=\int f$ なので、$\lambda>0$ では $K(\lambda)\le\int f+C\lambda/2$、すなわち $H(\lambda)\le e^{\lambda\int f+C\lambda^2/2}$。$\lambda<0$ も同様です。Markov の不等式（定理 6.1［確率変数と期待値］）から $\mu(f-\int f\ge r)\le e^{-\lambda r+C\lambda^2/2}$ で、$\lambda=r/C$ とおけば主張です。

演習 8.4難

$\lambda,a>0$、$V(\phi)=\lambda\phi^4-a\phi^2$（1 次元の二重井戸）とします。$U\in C^2(\mathbb{R})$ で $U''\ge1$ かつ $V-U$ が有界なものを構成し、$\mu(d\phi)\propto e^{-V(\phi)}d\phi$ がある定数 $C$ で $\mathrm{LSI}(C)$ を満たすことを示してください。

解答

$V''(\phi)=12\lambda\phi^2-2a\to\infty$ なので、$|\phi|\ge R$ で $V''\ge1$ となる $R$ があり、$\psi=\max(0,1-V'')$ は $[-R,R]$ に台をもつ連続な偶関数です。$A=\int_0^R\psi$ とおき、$|\phi|\ge R_1$ で $V''\ge1+2A$ となる $R_1>R$ をとります。$\chi\ge0$ を $[R_1,R_1+1]$ に台をもつ高さ $2A$ の三角形の山（$\int\chi=A$）とし、偶に延ばします。

$$D(\phi)=\int_0^\phi\!\!\int_0^s\bigl(\psi(r)-\chi(r)\bigr)\,dr\,ds$$

は $C^2$ の偶関数で、$\phi\ge R_1+1$ では $D'(\phi)=\int_0^\phi(\psi-\chi)=A-A=0$ なので定数、したがって $D$ は有界です。$U=V+D$ とおくと $U''=V''+\psi-\chi$ で、$|\phi|\le R$ では $V''+\psi=\max(V'',1)\ge1$、$R<|\phi|<R_1$ と $|\phi|>R_1+1$ では $V''\ge1$、$R_1\le|\phi|\le R_1+1$ では $V''-\chi\ge1+2A-2A=1$ です。よって $U''\ge1$ で、定理 4.2 から $e^{-U}$ の正規化は $\mathrm{LSI}(1)$ を満たし、$V=U-D$、$\operatorname{osc}D<\infty$ なので 定理 6.1 から $\mu$ は $\mathrm{LSI}(e^{\operatorname{osc}D})$ を満たします。

参考文献

• D. Bakry, I. Gentil, M. Ledoux, Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators, Springer, 2014 — 第 4・5 章（Poincaré 不等式と対数 Sobolev 不等式）。
• S. G. Bobkov, M. Ledoux, “From Brunn–Minkowski to Brascamp–Lieb and to logarithmic Sobolev inequalities”, Geometric and Functional Analysis 10 (2000), 1028–1052.
• H. J. Brascamp, E. H. Lieb, “On extensions of the Brunn–Minkowski and Prékopa–Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation”, Journal of Functional Analysis 22 (1976), 366–389.
• L. Gross, “Logarithmic Sobolev inequalities”, American Journal of Mathematics 97 (1975), 1061–1083.
• R. Holley, D. Stroock, “Logarithmic Sobolev inequalities and stochastic Ising models”, Journal of Statistical Physics 46 (1987), 1159–1194.
• M. Ledoux, “Concentration of measure and logarithmic Sobolev inequalities”, Séminaire de Probabilités XXXIII, Lecture Notes in Mathematics 1709, Springer, 1999, 120–216.