Poincaré 不等式と対数 Sobolev 不等式

$f\ge0$ で $f\log f\in L^1(\mu)$ のとき、$f$ のエントロピーを $\mathrm{Ent}_\mu(f)=\int f\log f\,d\mu-\bigl(\int f\,d\mu\bigr)\log\bigl(\int f\,d\mu\bigr)$ とする（$0\log0=0$）。$C>0$ について

• $\mu$ が Poincaré 不等式 $\mathrm{PI}(C)$ を満たすとは、すべての $f\in\mathcal{A}$ で $\mathrm{Var}_\mu(f)\le C\int|\nabla f|^2d\mu$ となること、
• $\mu$ が対数 Sobolev 不等式 $\mathrm{LSI}(C)$ を満たすとは、すべての $f\in\mathcal{A}$ で $\mathrm{Ent}_\mu(f^2)\le2C\int|\nabla f|^2d\mu$ となること

をいう。