ε-首・強い ε-首・ε-帽子

$\varepsilon\gt0$ とする。$B(x,t,\rho)$ で時刻 $t$ の計量での半径 $\rho$ の開距離球を表す。

1. 距離球 $B(x,t,\varepsilon^{-1}r)$ が $\varepsilon$-首であるとは、計量を $r^{-2}$ 倍すると、標準的な首 $S^2\times I$（$S^2$ はスカラー曲率 $1$ の丸い球面、$I$ は長さ $2\varepsilon^{-1}$ の区間、積計量）に $\varepsilon$-近いことをいう。$\varepsilon$-近いとは、微分同相で引き戻した計量の差が、$N\gt\varepsilon^{-1}$ 階までの導関数を込めて $\varepsilon$ 未満であることをいう。
2. 時空の領域 $\{(x',t'):x'\in B(x,t,\varepsilon^{-1}r),\ t-r^2\le t'\le t\}$ が強い $\varepsilon$-首であるとは、計量を $r^{-2}$ 倍、時間を $r^{-2}$ 倍すると、縮む標準的な首（時刻 $t'\in[-1,0]$ でスカラー曲率が $(1-t')^{-1}$ の円柱の流れ）に $\varepsilon$-近いことをいう。
3. $3$ 次元球体 $B^3$ または $\mathbb{R}P^3\setminus\bar B^3$ の上の計量が $\varepsilon$-帽子であるとは、あるコンパクト集合の外の各点が $\varepsilon$-首に含まれ、スカラー曲率が端で有界であることをいう。