数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

標準近傍定理（Perelman）

定理 7.13（「ポアンカレ予想 II」§7） ・ ※主張のみ

十分小さい ε>0\varepsilon\gt0、κ>0\kappa\gt0、無限遠で 00 に減少する関数 ϕ\phi に対し、r0>0r_0\gt0 があって次が成り立つ。g(t)g(t)（0≤t≤T0\le t\le T）を向き付けられた閉 33 次元多様体 MM 上の Ricci flow の解で、すべての点で断面曲率が −ϕ(R)R-\phi(R)R 以上であり、スケール r0r_0 未満で κ\kappa-非崩壊であるものとする。このとき、t0≥1t_0\ge1 かつ Q=R(x0,t0)≥r0−2Q=R(x_0,t_0)\ge r_0^{-2} を満たす任意の点 (x0,t0)(x_0,t_0) について、

{(x,t): dt0(x,x0)2<(εQ)−1, t0−(εQ)−1≤t≤t0}\bigl\{(x,t):\ d_{t_0}(x,x_0)^2\lt(\varepsilon Q)^{-1},\ t_0-(\varepsilon Q)^{-1}\le t\le t_0\bigr\}

の上の解は、QQ 倍に拡大すると、ある古代 κ\kappa-解の対応する部分に ε\varepsilon-近い。したがって 定理 7.10 (4) により、x0x_0 は時刻 t0t_0 で、ε\varepsilon-首、ε\varepsilon-帽子、正の断面曲率を持つ閉多様体のいずれかである近傍を持つ。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。