3 次元の κ-解の構造（Perelman）

$g(t)$ を $3$ 次元の古代 $\kappa$-解とする。

1. （漸近ソリトン）基点 $(p,t_0)$ についての簡約距離 $l$ に対し $l(q(\tau),\tau)\le\frac32$ となる点 $q(\tau)$ を取ると、$g(t_0-\tau)$ を $q(\tau)$ のまわりで $\tau^{-1}$ 倍に拡大した解は、$\tau\to\infty$ の部分列で、平坦でない縮小勾配ソリトンに収束する。
2. （漸近ソリトンの分類）(1) の極限は、丸い $S^3$ の商、丸い円柱 $S^2\times\mathbb{R}$、または円柱の $\mathbb{Z}/2$ による商のいずれかである。
3. （コンパクト性）$\kappa$ を固定したとき、$\kappa$-解の全体は相似拡大を法としてコンパクトである。すなわち、$\kappa$-解の列と $R(x_k,0)=1$ となる基点の列から、定理 7.7 (1) の意味で収束する部分列が取れ、極限も $\kappa$-解である。
4. （普遍的な定数と局所的な形）普遍定数 $\kappa_0\gt0$、$\eta$ があって、すべての $\kappa$-解は、$\kappa_0$-解であるか丸い球面の商であり、各点で $|\nabla R|\lt\eta R^{3/2}$、$|\partial_tR|\lt\eta R^2$ を満たす。十分小さい $\varepsilon\gt0$ に対し定数 $C_1(\varepsilon),C_2(\varepsilon)$ があって、$\kappa$-解の各点 $(x,t)$ は、ある半径 $r\lt C_1R(x,t)^{-1/2}$ について $B(x,t,r)\subset B\subset B(x,t,2r)$ となる近傍 $B$ で、(a) 強い $\varepsilon$-首、(b) $\varepsilon$-帽子、(c) $S^3$ または $\mathbb{R}P^3$ に微分同相な閉多様体、(d) 断面曲率が正の定数の閉多様体、のいずれかであるものを持つ。$B$ の上でスカラー曲率は $C_2^{-1}R(x,t)$ と $C_2R(x,t)$ の間にある。