数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

ℝⁿ の W と Gross の対数 Sobolev 不等式

命題 5.4（「ポアンカレ予想 II」§5） ・ ✓公理まで証明済み

F∈AF\in\mathcal{A} を至るところ正で ∫F2dγ=1\int F^2d\gamma=1 を満たす関数、τ>0\tau\gt0 とし、Rn\mathbb{R}^n 上の関数

f(x)=∣x∣24τ−2log⁡F(x2τ)f(x)=\frac{|x|^2}{4\tau}-2\log F\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2\tau}}\Bigr)

を考える。このとき (4πτ)−n/2∫Rne−fdx=1(4\pi\tau)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-f}dx=1 で、平坦な計量についての

WRn(f,τ):=∫Rn[τ∣∇f∣2+f−n](4πτ)−n/2e−f dx\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau):=\int_{\mathbb{R}^n}\bigl[\tau|\nabla f|^2+f-n\bigr](4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dx

は

WRn(f,τ)=2∫Rn∣∇F∣2dγ−Entγ(F2)\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)=2\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla F|^2d\gamma-\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)

を満たす。したがって「この形のすべての ff について WRn(f,τ)≥0\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}(f,\tau)\ge0」は、上の条件を満たす FF についての Gauss 測度の対数 Sobolev 不等式 Entγ(F2)≤2∫∣∇F∣2dγ\mathrm{Ent}_\gamma(F^2)\le2\int|\nabla F|^2d\gamma と同値であり、成り立つ。F≡1F\equiv1、すなわち f=∣x∣2/(4τ)f=|x|^2/(4\tau) のとき WRn=0\mathcal{W}_{\mathbb{R}^n}=0 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。