# Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） > 区間上の2階線形固有値問題について、Sturmの比較定理とPrüfer変換による振動定理（n番目の固有関数は零点をn−1個もつ）、Green関数の構成、コンパクト自己共役作用素を経由した固有関数展開の完備性を証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/ode/sturm-liouville ## 0. この記事の要点 ギターの弦を両端で止めて弾くと、決まった高さの音（基音とその倍音）だけが出ます。この記事は、なぜ「特別な値だけ」が現れるのかを、弦のように単純でない一般の場合にも通用する形で調べます。読み終えると、そうした特別な値とそのときの振動の形が無数に並ぶこと、任意の振動がそれらの重ね合わせで書けることが分かります。 - **Sturm–Liouville 問題** $-(py')'+qy=\lambda wy$、$y(a)=y(b)=0$ は、「方程式が解を持つような $\lambda$（固有値）と、そのときの解（固有関数）を求める」問題です。弦の振動、量子力学の井戸型ポテンシャル、熱伝導の変数分離に現れます。 - **Sturm の比較定理**：係数が大きい方程式の解は、より速く振動します。これは Wronskian に似た量（2 つの解 $y,z$ を組み合わせた $p(y'z-yz')$）の微分を調べるだけで証明できます。 - **振動定理**：固有値は単純で $\lambda_1<\lambda_2<\cdots\to\infty$ と並び、$n$ 番目の固有関数は開区間にちょうど $n-1$ 個の零点を持ちます。Prüfer 変換（解を極座標で見る）で、固有値が「角度が $n\pi$ に達する $\lambda$」として特徴づけられます。 - **Green 関数**：$Ly=f$ の境界値問題の解が、積分核 $G(x,t)$ で $y=\int G(x,t)f(t)\,dt$ と書けます。核は連続で対称です。 - **完備性**：この積分作用素は Hilbert–Schmidt 作用素（とくに[コンパクト作用素](/mathematics/functional-analysis/compact-operators#def-compact-operator)で[自己共役](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators#def-operator-classes)）で、核が $0$ なので、Hilbert–Schmidt の定理から固有関数が $L^2$ の[正規直交基底](/mathematics/linear-algebra/inner-product-spaces#def-orthonormal)をなします。三角関数系の完全性（Fourier 級数）もここから出ます。1 次元 Schrödinger 作用素のスペクトル論への入口です。 - **変数分離法**（§7）：区間上の弦の振動 $u_{tt}=u_{xx}$ と熱伝導 $u_t=u_{xx}$ の解は、固有関数 $\sin(n\pi x/\ell)$ の級数で与えられます。係数の減衰を部分積分で評価して項別微分を正当化し、一意性はエネルギー保存と最大値原理（熱方程式の解の最大値は、初めの時刻か両端でしか取られない、という性質）から出ます。弦ではモードの振幅が保たれ、熱では高い振動数ほど速く減衰します。 ## 1. 動機 弦の振動を考えます。長さ $\ell$ の弦が両端で固定されているとき、変位 $u(x,t)$ は波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ を満たします。変数分離 $u=y(x)T(t)$ をすると、$y''=-\lambda y$（$\lambda$ は分離定数）、$y(0)=y(\ell)=0$ が出てきます。$\lambda$ が特別な値 $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$ のときだけ、境界条件を満たす $y\ne0$ が存在し、それが弦の基準振動 $\sin(n\pi x/\ell)$ です。一般の振動はこれらの重ね合わせ（Fourier 正弦級数）で書けます。 ここには数学的な問いが 3 つあります。 1. **固有値の構造**：固有値はどんな集合か（離散的か、単純か、上に有界でないか）。 2. **固有関数の形**：$n$ 番目の固有関数は、$\sin(n\pi x/\ell)$ のように $n-1$ 個の零点を持つのか。 3. **完全性**：固有関数の重ね合わせで、任意の関数が（$L^2$ の意味で）展開できるのか。 係数が一定の場合は三角関数で直接分かります。しかし $p,q,w$ が変数関数だと、解は一般に公式で書けません。そこで必要になるのが、方程式の構造だけを使った議論です。前半（比較定理、Prüfer 変換）は常微分方程式の道具だけで、後半（Green 関数、完備性）は関数解析の道具が主役になります。常微分方程式と作用素論の橋渡しがこの記事の主題です。 ## 2. 設定と基本性質 以下、$[a,b]$ を有界閉区間、$p\in C^1[a,b]$、$q,w\in C[a,b]$ を実数値とし、$p>0$、$w>0$ とします。作用素 $Ly=-(py')'+qy$ を考え、**Sturm–Liouville 問題**（Dirichlet 境界条件） $$ Ly=\lambda\,w\,y\quad\text{on }[a,b],\qquad y(a)=y(b)=0\tag{SL} $$ を扱います。ここで $y(a)=y(b)=0$ は、区間の両端で解が $0$ になる条件（Dirichlet 境界条件）です。$y\not\equiv0$ が (SL) を満たすとき $\lambda$ を**固有値**、$y$ を**固有関数**といいます。 $u,v\in C^2[a,b]$ に対し $\displaystyle\int_a^b(Lu\cdot v-u\cdot Lv)\,dx=\Bigl[p\,(uv'-u'v)\Bigr]_a^b$ である。とくに $u(a)=u(b)=v(a)=v(b)=0$ なら $0$ である。 $Lu\cdot v-u\cdot Lv=-(pu')'v+u(pv')'=\bigl[p(uv'-u'v)\bigr]'$ です（$(p(uv'-u'v))'=u(pv')'-(pu')'v$ を確かめる：$(puv')'=u'pv'+u(pv')'$、$(pu'v)'=(pu')'v+pu'v'$ なので差は $u(pv')'-(pu')'v$）。積分します。 1. 固有値は実数で、実数値の固有関数が取れる。 2. 異なる固有値の固有関数は重み $w$ に関して直交する：$\int_a^bw\,\varphi\psi\,dx=0$。 3. 各固有値の固有空間は 1 次元である（単純）。 (1)(2) 複素数値関数を許すと、$\lambda$ が固有値で $y$ が固有関数のとき、$L$ の係数が実数なので $\bar y$ は固有値 $\bar\lambda$ の固有関数です。 を $u=y$、$v=\bar y$ に使うと $0=\int(Ly\,\bar y-y\,L\bar y)=(\lambda-\bar\lambda)\int w|y|^2$ で、$w>0$、$y\not\equiv0$ から $\lambda=\bar\lambda$ です。実固有値に対して $y$ の実部・虚部も同じ方程式を満たすので実数値の固有関数が取れます。異なる固有値 $\lambda\ne\mu$ の固有関数 $\varphi,\psi$ に対し $0=\int(L\varphi\,\psi-\varphi\,L\psi)=(\lambda-\mu)\int w\varphi\psi$ です。 (3) 2 つの固有関数 $y_1,y_2$ はともに $y(a)=0$ を満たし、線形方程式の初期値問題は $(y(a),y'(a))$ で一意に定まる（）ので、$y_2'(a)/y_1'(a)$ を比（$y_1'(a)\ne0$、さもなくば $y_1\equiv0$）とする定数倍の関係にあります。 ## 3. Sturm の比較定理 $p>0$ を $C^1$ 級、$g_1,g_2$ を連続で $g_1\le g_2$ とし、$y,z$ をそれぞれ $(py')'+g_1y=0$、$(pz')'+g_2z=0$ の実数値の自明でない解とする。$\alpha<\beta$ が $y$ の隣り合う零点なら、$z$ は $(\alpha,\beta)$ に零点を持つか、あるいは $g_1=g_2$（$[\alpha,\beta]$ 上）かつ $z$ は $y$ の定数倍である。 零点では $y'\ne0$ です（$y(\alpha)=y'(\alpha)=0$ なら一意性より $y\equiv0$）。$y$ を $-1$ 倍して $(\alpha,\beta)$ で $y>0$ としてよく、このとき $y'(\alpha)>0$、$y'(\beta)<0$ です。$z$ が $(\alpha,\beta)$ に零点をもたないと仮定して、符号を取り替えて $z>0$ とします。 $$ \bigl(p(y'z-yz')\bigr)'=(py')'z-y(pz')'=-g_1yz+g_2yz=(g_2-g_1)yz\ge0 $$ を $[\alpha,\beta]$ で積分すると、左辺は $$ p(\beta)y'(\beta)z(\beta)-p(\alpha)y'(\alpha)z(\alpha)\le0 $$ です（$z(\alpha),z(\beta)\ge0$、$y'(\beta)<00$ より $g_1=g_2$。また $y'(\beta)z(\beta)=0$ から $z(\beta)=0$、同様に $z(\alpha)=0$ となり、$z$ と $y$ は同じ方程式で $\alpha$ で零なので定数倍です（一意性）。 $g_1=g_2$ とし、$y_1,y_2$ を一次独立な 2 つの実解とする。$y_1$ の隣り合う零点の間には $y_2$ の零点がちょうど 1 つある。 で $g_1=g_2$、$y=y_1$、$z=y_2$ とすると、$y_2$ は $y_1$ の定数倍でない（一次独立）ので、$y_2$ は $(\alpha,\beta)$ に零点を持ちます。もし $(\alpha,\beta)$ に $y_2$ の零点が 2 つあれば、役割を入れ替えて、その間に $y_1$ の零点があることになり、$\alpha,\beta$ が隣り合う零点であることに反します。ゆえにちょうど 1 つです。 $y''+q(x)y=0$（$p=1$）で $q(x)\ge m^2>0$ なら、任意の自明でない解は長さ $\pi/m$ の任意の区間に零点を持ちます。$z=\sin(m(x-c))$ は $z''+m^2z=0$ の解で、その隣り合う零点の間隔は $\pi/m$ です。 の $y=z$（$g_1=m^2$）、比較対象の $g_2=q\ge m^2$ を使います。$q$ が大きいほど速く振動する、という直観のとおりです。 ## 4. 振動定理 比較定理は解が「どれだけ振動するか」を比べますが、固有値問題では、固有値 $\lambda$ を動かしたとき零点の数がどう変わるかを知りたいのです。そのために、解の位相を追跡する**Prüfer 変換**を使います。 $\lambda\in\mathbb{R}$ を固定し、$u$ を $Lu=\lambda wu$、$u(a)=0$、$p(a)u'(a)=1$ の解、$v=pu'$ とします。すると $$ u'=\frac vp,\qquad v'=(q-\lambda w)u\tag{4.1} $$ です。$(u,v)\ne(0,0)$（さもなくば $u\equiv0$）なので、$(u,v)$ を極座標 $(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ で表したときの角度 $\theta$ を追跡できます。 次の補題は、この角度 $\theta$ がそれだけで閉じた 1 本の微分方程式を満たすことを述べます。ねらいは、$u$ の零点（$\sin\theta=0$）を、$\theta$ が $\pi$ の整数倍になる瞬間として数えられるようにすることです。 $F(x,\theta,\lambda)=\dfrac{\cos^2\theta}{p(x)}+\bigl(\lambda w(x)-q(x)\bigr)\sin^2\theta$ とし、$\theta$ を $\theta'=F(x,\theta,\lambda)$、$\theta(a)=0$ の解とする。このとき $\theta$ は $[a,b]$ 全体で存在し、$r(x)=\exp\int_a^x\sin\theta\cos\theta\,(1/p+q-\lambda w)\,ds$ に対して $(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ が成り立つ。 $F$ は $\theta$ について $C^\infty$ で $|F|\le\sup(1/p)+\sup|\lambda w-q|$ と有界なので、 により $\theta$ は $[a,b]$ 全体で存在します。$(\tilde u,\tilde v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ とおくと、$r'/r=\sin\theta\cos\theta(1/p+q-\lambda w)$ と $\theta'=F$ を用いて $$ \tilde u'=r\cos\theta\Bigl[\sin^2\theta\Bigl(\tfrac1p+q-\lambda w\Bigr)+\tfrac{\cos^2\theta}{p}+(\lambda w-q)\sin^2\theta\Bigr]=\frac{\tilde v}{p}, $$ $$ \tilde v'=r\sin\theta\Bigl[\cos^2\theta\Bigl(\tfrac1p+q-\lambda w\Bigr)-\tfrac{\cos^2\theta}{p}-(\lambda w-q)\sin^2\theta\Bigr]=(q-\lambda w)\tilde u $$ と計算できます。初期値 $(\tilde u,\tilde v)(a)=(0,1)=(u,v)(a)$ なので、(4.1) の解の一意性から $(\tilde u,\tilde v)=(u,v)$ です。 したがって $u(x)=0$ であることと $\sin\theta(x)=0$（$\theta(x)\in\pi\mathbb{Z}$）であることは同値です。$\theta(x)=k\pi$ となる点では $\theta'=1/p>0$ なので、$\theta$ は各 $k\pi$ を**上向きにだけ**横切ります。$\theta(a)=0$ で $\theta'(a)>0$ なので、$x>a$ で $\theta(x)>0$ であり、$\theta$ が $k\pi$ を越えたあと、それ以下に戻ることもありません。ゆえに > $u$ の $(a,b)$ における零点の数は $\#\{k\ge1:k\pi<\theta(b;\lambda)\}$ に等しい。$u(b)=0$ となる（$\lambda$ が固有値である）ことは $\theta(b;\lambda)\in\{\pi,2\pi,\dots\}$ と同値で、$\theta(b;\lambda)=n\pi$ のとき零点はちょうど $n-1$ 個。 次の定理の証明の方針です。$\lambda$ を動かすと、右端 $b$ での角度 $\Theta(\lambda)$ が動きます。(i) $\Theta$ が $\lambda$ とともに増えること、(ii) $\lambda$ が十分負なら $\pi$ 未満であること、(iii) $\lambda$ が十分大きければいくらでも大きくなること、を示し、$\Theta=n\pi$ となる $\lambda$ を中間値の定理で拾います。(ii)(iii) で記号が多いのは、$\theta$ の進む速さ $\theta'=F$ を、$\lambda$ の符号に応じて上から、または下から押さえるためです。 (SL) の固有値は、単純で実数の列 $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\cdots$、$\lambda_n\to\infty$ をなし、これ以外に固有値はない。$\lambda_n$ の固有関数は $(a,b)$ にちょうど $n-1$ 個の零点を持つ。 関数 $\Theta(\lambda)=\theta(b;\lambda)$ を調べます。 **(i) $\Theta$ は連続かつ狭義単調増加。** $F$ は $(\theta,\lambda)$ について $C^1$ 級なので、パラメータに関する微分可能依存性（ に $\lambda'=0$ を連立する）により、$\vartheta=\partial\theta/\partial\lambda$ は存在して $\vartheta'=F_\theta\vartheta+w\sin^2\theta$、$\vartheta(a)=0$ を満たします。これは 1 階線形方程式なので（） $$ \vartheta(x)=\int_a^x\exp\Bigl(\int_s^xF_\theta\Bigr)\,w(s)\sin^2\theta(s)\,ds>0\qquad(x>a) $$ です（$\theta(a)=0$、$\theta'(a)>0$ より $\sin^2\theta>0$ が $a$ の右近傍にある）。よって $\Theta'(\lambda)=\vartheta(b)>0$ です。 **(ii) $\lambda\to-\infty$ で $\Theta<\pi$。** $\delta\in(0,\pi/2)$ をとり、$m=\min w$、$P=\min p$、$\mu=\max|q|$ とおきます。$m|\lambda|>\mu+1/(P\sin^2\delta)$ なる $\lambda<0$ では、$\theta$ が最初に $\delta$ に達する点 $x_1$ があれば $\theta'(x_1)=\cos^2\delta/p+(\lambda w-q)\sin^2\delta\le1/P-(m|\lambda|-\mu)\sin^2\delta<0$ ですが、$\theta$ が初めて $\delta$ に達するなら $\theta'(x_1)\ge0$ のはずで矛盾です。ゆえに $\theta<\delta<\pi$ で $\Theta(\lambda)<\pi$ です。 **(iii) $\lambda\to+\infty$ で $\Theta\to\infty$。** 自然数 $N$ をとり、$\lambda m\ge\mu$ とすれば $F\ge\cos^2\theta/p\ge0$ なので $\theta$ は単調非減少です。小さな $\varepsilon\in(0,\pi/4)$ をとります。$\theta$ が $k\pi$ の $\varepsilon$ 近傍にあるとき $\cos^2\theta\ge1/2$ なので $\theta'\ge1/(2\max p)$、その近傍を通り抜ける時間は $4\varepsilon\max p$ 以下です。近傍の外では $\sin^2\theta\ge(2\varepsilon/\pi)^2$ で $\theta'\ge(\lambda m-\mu)(2\varepsilon/\pi)^2$ なので、1 つの隙間 $\pi$ を通る時間は $\pi^3/(4\varepsilon^2(\lambda m-\mu))$ 以下です。$\theta$ が $0$ から $N\pi$ に達する全時間は、近傍で $(N+1)\cdot4\varepsilon\max p$、隙間で $N\pi^3/(4\varepsilon^2(\lambda m-\mu))$ 以下ですから、$\varepsilon$ を前者が $(b-a)/2$ 以下になるよう、次に $\lambda$ を後者が $(b-a)/2$ 未満になるよう選べば、$\theta$ は $b$ までに $N\pi$ に達します。$\Theta(\lambda)\ge N\pi$ です。 **結論。** (i)–(iii) と中間値の定理により、各 $n\ge1$ に対し $\Theta(\lambda)=n\pi$ となる $\lambda=\lambda_n$ がただ 1 つあり、$\Theta$ の増加性から $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ です。固有値はこれらに限られます。$\lambda_n\le\Lambda$ が無限個あれば $n\pi=\Theta(\lambda_n)\le\Theta(\Lambda)<\infty$ に反するので $\lambda_n\to\infty$。単純性は 、零点の個数は上の枠内の記述です。
1π λ₁ 2π λ₂ 3π λ₃ 4π λ₄ λ → θ(b; λ)
この場合 $(u,v)=(\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda,\ \cos(\sqrt\lambda\,x))$ で、$(u,v)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ ですから、$\theta(x;\lambda)$ は複素数 $\cos(\sqrt\lambda\,x)+i\,\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda$ の偏角を、$x=0$ で $0$ になるように $x$ に沿って連続につないだものです。$\Theta(\lambda)$ はその $x=1$ での値で、固有値は $\lambda_n=(n\pi)^2$ です。 ## 5. Green 関数 以下、**$0$ は (SL) の固有値でない**と仮定します（一般の場合は §6 の最後で $q$ を $q-cw$ に取り替えて帰着させます）。 $u_1,u_2$ を $Lu_i=0$ の解で、$u_1(a)=0$、$u_1'(a)=1/p(a)$ および $u_2(b)=0$、$u_2'(b)=1/p(b)$ を満たすものとします。$u_1,u_2$ は一次独立です（$u_1(b)=0$ だと $u_1$ が $\lambda=0$ の固有関数になる）。 $W=p\,(u_1u_2'-u_1'u_2)$ は定数で、$0$ ではありません。実際 $W'=u_1(pu_2')'-(pu_1')'u_2=u_1qu_2-qu_1u_2=0$ で、$W=W(a)=-p(a)u_1'(a)u_2(a)=-u_2(a)$、$u_2(a)=0$ だと $u_2$ が固有関数になってしまうので $W\ne0$ です。 次の $G$ は、$Ly=f$ を解く公式を作るために置きます。$x\le t$ の側では左端の条件を満たす $u_1$、$x\ge t$ の側では右端の条件を満たす $u_2$ を使い、$x=t$ で貼り合わせた形です。この形で本当に解が得られることは、すぐ後の定理で確かめます。 $$ G(x,t)=-\frac{1}{W}\,u_1(\min\{x,t\})\,u_2(\max\{x,t\})\qquad(x,t\in[a,b]) $$ を (SL) の（$\lambda=0$ での）**Green 関数**という。$G$ は $[a,b]^2$ 上で連続かつ実数値で対称：$G(x,t)=G(t,x)$。 $f\in C[a,b]$ とする。$y(x)=\displaystyle\int_a^bG(x,t)f(t)\,dt$ は $Ly=f$、$y(a)=y(b)=0$ を満たす $C^2$ 級の唯一の解である。 定義により $$ y(x)=-\frac1W\Bigl[u_2(x)\int_a^xu_1f\,dt+u_1(x)\int_x^bu_2f\,dt\Bigr] $$ です。微分すると、積分の上端・下端から出る項 $u_2u_1f-u_1u_2f$ が打ち消し合うので $$ y'(x)=-\frac1W\Bigl[u_2'(x)\int_a^xu_1f+u_1'(x)\int_x^bu_2f\Bigr] $$ です。もう一度 $p$ を掛けて微分すると（$(pu_i')'=qu_i$） $$ (py')'=-\frac1W\Bigl[qu_2\int_a^xu_1f+qu_1\int_x^bu_2f+p(u_2'u_1-u_1'u_2)f\Bigr]=qy-f $$ です。ゆえに $Ly=-(py')'+qy=f$ です。$y(a)=-\frac1Wu_1(a)\int_a^bu_2f=0$、$y(b)=0$ も同様です。一意性：2 つの解の差は $Ly=0$、$y(a)=y(b)=0$ を満たし、$0$ は固有値でないので $0$ です。 $p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ では $u_1=x$、$u_2=x-\ell$、$W=x\cdot1-1\cdot(x-\ell)=\ell$ で $$ G(x,t)=\frac{\min\{x,t\}\bigl(\ell-\max\{x,t\}\bigr)}{\ell} $$ です。たとえば $f\equiv1$ なら $y=\int_0^\ell G\,dt=x(\ell-x)/2$ で、確かに $-y''=1$、$y(0)=y(\ell)=0$ です。$G(x,\cdot)$ は、$x$ に置いた単位の力に対する弦（張力 1）の静的な変位を表します。 ## 6. 固有関数展開の完備性 重み $w$ つきの $L^2$ 空間 $H=L^2((a,b);w\,dx)$（内積 $\langle f,g\rangle_w=\int wf\bar g\,dx$）を考えます。 (SL) の固有関数を $\varphi_1,\varphi_2,\dots$（$\varphi_n$ は $\lambda_n$ の実数値固有関数で $\|\varphi_n\|_w=1$）とすると、$\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $H$ の正規直交基底である。すなわち任意の $f\in H$ について $$ f=\sum_{n=1}^{\infty}\langle f,\varphi_n\rangle_w\,\varphi_n\quad(H\text{ の意味で}),\qquad\|f\|_w^2=\sum_n|\langle f,\varphi_n\rangle_w|^2 $$ が成り立つ。 証明の方針です。Green 関数を核とする積分作用素 $K$ を作ると、$K$ は $L$ の逆にあたります。$K$ はコンパクトな自己共役作用素なので、Hilbert–Schmidt の定理から固有ベクトルの正規直交系が得られ、$K$ の核（$Kf=0$ となる $f$ の全体）が $\{0\}$ ならそれが $H$ 全体の基底になります。最後に、$K$ の固有ベクトルが (SL) の固有関数と同じものだと確かめます。途中の $\operatorname{Ker}K=\{0\}$ の部分は、$Kf=0$ の式を微分して連立方程式に直し、$h=wf$ が[ほとんど至るところ](/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#def-ae) $0$ であることを導いています。 **帰着。** $c\in\mathbb{R}$ に対し $q$ を $q-cw$ に取り替えると、$Ly=\lambda wy$ は $(L-cw)y=(\lambda-c)wy$ となるだけで、固有関数は変わらず固有値が $c$ ずれます。 により固有値は下に有界なので、$c<\lambda_1$ ととれば新しい問題の固有値はすべて正で、$0$ は固有値ではありません。よって §5 の仮定を満たすとしてよいです。 **積分作用素。** $(Kf)(x)=\int_a^bG(x,t)f(t)w(t)\,dt$ とします。$U:H\to L^2(a,b)$、$Uf=\sqrt wf$ はユニタリで、$UKU^{-1}$ は積分核 $k(x,t)=\sqrt{w(x)}\,G(x,t)\sqrt{w(t)}$ をもつ積分作用素です。$k$ は $[a,b]^2$ 上で連続・実数値・対称なので $L^2([a,b]^2)$ に属し、 により Hilbert–Schmidt 作用素、 の 3 により**コンパクト**で、核の対称性から**自己共役**です。したがって $K$ は $H$ 上のコンパクト自己共役作用素です。 **$\operatorname{Ker}K=\{0\}$。** $Kf=0$ とし、$h=wf\in L^1$ とおきます。$A(x)=\int_a^xu_1h$、$B(x)=\int_x^bu_2h$（絶対連続）に対し、$Kf(x)=-\frac1W[u_2A+u_1B]=0$ がすべての $x$ で成り立ちます。微分（a.e.）すると $u_2'A+u_1'B+(u_2u_1-u_1u_2)h=u_2'A+u_1'B=0$ で、これは連続関数なので全 $x$ で成り立ちます。連立方程式 $$ u_2A+u_1B=0,\qquad u_2'A+u_1'B=0 $$ の係数行列式は $u_2u_1'-u_1u_2'=-W/p\ne0$ なので $A=B=0$ です。$A'=u_1h=0$、$B'=-u_2h=0$（a.e.）で、$u_1,u_2$ に共通の零点はない（一次独立な解は共通の零点を持たない）ので $h=0$ a.e.、$w>0$ から $f=0$ です。 **固有関数と K の固有ベクトル。** の 3 により、$H=\operatorname{Ker}K\oplus\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}$（$e_n$ は $K$ の $0$ でない固有値の固有ベクトル）で、$\operatorname{Ker}K=0$ から $\{e_n\}$ は完全です。$Ke=\mu e$（$\mu\ne0$）なら、$K$ の像は連続関数なので $e=\mu^{-1}Ke$ は連続で、したがって を $f=\mu^{-1}we$ に使えて $e\in C^2$、$Le=\mu^{-1}we$、$e(a)=e(b)=0$、すなわち $e$ は固有値 $\lambda=1/\mu$ の (SL) の固有関数です。逆に (SL) の固有関数 $\varphi$（固有値 $\lambda\ne0$）に対し $L\varphi=\lambda w\varphi$ なので の一意性から $\varphi=\lambda K\varphi$ です。こうして (SL) の固有関数と $K$ の固有ベクトルは対応します。固有値は単純（）で、$\lambda_n$ の固有関数は規格化した $\varphi_n$ だけなので、$\{\varphi_n\}$ が $H$ の正規直交基底です。 $\ell>0$ とする。$-y''=\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$（$n=1,2,\dots$）で、$\varphi_n(x)=\sqrt{2/\ell}\,\sin(n\pi x/\ell)$ は $\lambda_n$ の規格化された固有関数である。$\{\varphi_n\}_{n\ge1}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底である。 これは (SL) で $p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ とした場合です。(SL) の固有値は実数なので（）、$\lambda\in\mathbb{R}$ を考えれば十分です。$\lambda$ を固定し、$s_\lambda$ を $\lambda>0$ なら $\sin(\sqrt\lambda\,x)/\sqrt\lambda$、$\lambda=0$ なら $x$、$\lambda<0$ なら $\sinh(\sqrt{-\lambda}\,x)/\sqrt{-\lambda}$ と置くと、$s_\lambda$ は $-y''=\lambda y$、$y(0)=0$、$y'(0)=1$ を満たします。$y$ が $-y''=\lambda y$、$y(0)=0$ を満たせば、$y-y'(0)s_\lambda$ は同じ方程式の解で初期値 $(0,0)$ をもつので、1 階系 $(y,y')'=(y',-\lambda y)$ の解の一意性（）から恒等的に $0$、すなわち $y=y'(0)s_\lambda$ です。したがって $\lambda$ が固有値であることは $s_\lambda(\ell)=0$ と同値です。$\lambda\le0$ では $s_\lambda(\ell)=\ell$ または $\sinh(\sqrt{-\lambda}\,\ell)/\sqrt{-\lambda}$ で正なので固有値ではありません。$\lambda>0$ では $\sin(\sqrt\lambda\,\ell)=0$、すなわち $\sqrt\lambda\,\ell=n\pi$（$n\ge1$）のときに限り固有値です。固有関数は $\sin(n\pi x/\ell)$ の定数倍で、$\int_0^\ell\sin^2(n\pi x/\ell)\,dx=\int_0^\ell\frac{1-\cos(2n\pi x/\ell)}2\,dx=\frac\ell2$ なので $\varphi_n$ は規格化されています。固有値は小さい順に $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ と並ぶので、 により $\{\varphi_n\}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底です。 $p=w=1$、$q=0$、$[a,b]=[0,\ell]$ では、 のとおり $-y''=\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$、規格化した固有関数は $\varphi_n=\sqrt{2/\ell}\,\sin(n\pi x/\ell)$ で、$\{\varphi_n\}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交基底です。つまり任意の $f\in L^2(0,\ell)$ は Fourier 正弦級数で展開でき、Parseval の等式が成り立ちます。三角関数系の完全性は、微分方程式の構造から出てきました。 $p=w=1$ のとき (SL) は区間上の 1 次元 Schrödinger 作用素 $H=-d^2/dx^2+q$（Dirichlet 境界条件）の固有値問題です。証明の核心は、$H$ の逆 $K=H^{-1}$ がコンパクト自己共役作用素で、固有値がコンパクト作用素の固有値の逆数として離散的に並ぶ、という点でした。$H$ 自身は非有界な自己共役作用素ですが、レゾルベント $(H-z)^{-1}$ がコンパクトなので、そのスペクトルは固有値だけからなります（[スペクトルの分類](/mathematics/functional-analysis/spectrum-classification) の言葉では、本質スペクトルが空）。区間が無限に延びる場合は、この議論がそのままでは使えず、連続スペクトルが現れます。 ## 7. 変数分離法：弦の振動と熱伝導 冒頭の動機に戻ります。区間 $(0,\ell)$ の両端で $0$ になる境界条件のもとで、偏微分方程式 $u_{tt}=u_{xx}$（弦の振動）と $u_t=u_{xx}$（熱伝導）を、**変数分離法**（$u=y(x)T(t)$ とおく）で解きます。$y''=-\lambda y$、$y(0)=y(\ell)=0$ の固有値・固有関数が、 の $\lambda_n=k_n^2$、$k_n=\frac{n\pi}\ell$、$\varphi_n=\sqrt{2/\ell}\,\sin k_nx$ です。以下、$k=k_n$ と略記し、$\psi_n=\sqrt{2/\ell}\cos k_nx$ とします（$\{\psi_n\}_{n\ge1}$ は $L^2(0,\ell)$ の正規直交系です。$\int_0^\ell\cos k_nx\cos k_mx\,dx$ は $n\ne m$ で $0$、$n=m$ で $\frac\ell2$）。波の速さが $c$ の方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ は、時間を $ct$ に取り替えて同じ形になります。 まず、係数の減衰を評価する補題です。級数を項ごとに微分して $u_{tt}=u_{xx}$ を確かめるには、微分で出る $n^2$ 倍の因子に負けないほど、係数 $a_n$ が速く小さくなる必要があります。補題は、初期形 $u_0$ がなめらかなほど $a_n$ が速く減ることを、部分積分で示します。これにより級数が[一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence#def-uniform)し、項別微分が許されます。 $u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ なら、$a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ は $a_n=-\frac1{k_n^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\delta_n$（$\delta_n=\langle u_0'',\varphi_n\rangle$、$\sum\delta_n^2\le\|u_0''\|_2^2$）を満たし、$\sum_n|a_n|<\infty$ である。さらに $u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ なら、$a_n=-\frac1{k_n^3}\sqrt{\frac2\ell}\,\gamma_n$（$\gamma_n=\langle u_0''',\psi_n\rangle$、$\sum\gamma_n^2\le\|u_0'''\|_2^2$）で、$\sum_nn^2|a_n|<\infty$ である。 部分積分を使います。$u_0(0)=u_0(\ell)=0$ なので $\int_0^\ell u_0\sin kx\,dx=\Bigl[-\frac{u_0\cos kx}k\Bigr]_0^\ell+\frac1k\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx=\frac1k\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx$ です。同様に $\sin k\ell=\sin n\pi=0$ から $\int_0^\ell u_0'\cos kx\,dx=-\frac1k\int_0^\ell u_0''\sin kx\,dx$ なので、$a_n=-\frac2{\ell k^2}\int u_0''\sin kx\,dx=-\frac1{k^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\delta_n$ です。ベッセルの不等式（）から $\sum\delta_n^2\le\|u_0''\|_2^2$ で、Cauchy–Schwarz の不等式から $\sum|a_n|\le C\bigl(\sum\frac1{n^4}\bigr)^{1/2}\bigl(\sum\delta_n^2\bigr)^{1/2}<\infty$ です（$C$ は $\ell$ だけで決まる定数）。後半：$u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$ なら $\int_0^\ell u_0''\sin kx\,dx=\Bigl[-\frac{u_0''\cos kx}k\Bigr]_0^\ell+\frac1k\int_0^\ell u_0'''\cos kx\,dx=\frac1k\int_0^\ell u_0'''\cos kx\,dx$ です。したがって $a_n=-\frac1{k^3}\sqrt{\frac2\ell}\,\gamma_n$ で、$\sum n^2|a_n|\le C'\sum\frac{|\gamma_n|}n\le C'\bigl(\sum\frac1{n^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\sum\gamma_n^2\bigr)^{1/2}<\infty$ です。 $u_0\in C^3[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=u_0''(0)=u_0''(\ell)=0$、$u_1\in C^2[0,\ell]$ で $u_1(0)=u_1(\ell)=0$ とする。係数を $a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$、$b_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_1\sin k_nx\,dx$ として $$ u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos k_nt+\frac{b_n}{k_n}\sin k_nt\Bigr)\sin k_nx $$ は $[0,\ell]\times\mathbb{R}$ 上で $C^2$ 級で、$u_{tt}=u_{xx}$、$u(0,t)=u(\ell,t)=0$、$u(x,0)=u_0(x)$、$u_t(x,0)=u_1(x)$ を満たす。さらに、$t\ge0$ でこれらを満たす $C^2$ 級の解は $u$ だけである。 **係数.** から $\sum n^2|a_n|<\infty$、$\sum|a_n|<\infty$ です。$u_1$ には同じ補題の前半（$u_0\to u_1$）を適用して $b_n=-\frac1{k^2}\sqrt{\frac2\ell}\,\langle u_1'',\varphi_n\rangle$ で、$\sum n|b_n|\le C\sum\frac{|\langle u_1'',\varphi_n\rangle|}n<\infty$ です。 **項別微分.** 級数の各項の $x,t$ に関する 2 階までの偏導関数は、絶対値が $k^2|a_n|+k|b_n|$ 以下（たとえば $\partial_x^2$ の項は $k^2\bigl|a_n\cos kt+\frac{b_n}k\sin kt\bigr|\le k^2|a_n|+k|b_n|$、$\partial_t\partial_x$ の項も同様。0 階・1 階の項は $k\ge1$ のときこの量で抑えられ、$k<1$ となる有限個の $n$ は収束に影響しない）です。$\sum(k^2|a_n|+k|b_n|)<\infty$ なので、M 判定法（）と項別微分（）により、$u$ は $C^2$ 級で偏導関数は項別に計算できます。$\partial_t^2$ の項と $\partial_x^2$ の項はどちらも $-k^2(\cdots)\sin kx$ で一致するので $u_{tt}=u_{xx}$ です。$\sin0=\sin k_n\ell=0$ から境界条件も成り立ちます。 **初期条件.** $u(x,0)=\sum a_n\sin k_nx$ は一様収束で連続関数 $v$ に収束し、その正弦係数は $a_n$ です（一様収束は項別積分できる）。$u_0$ も同じ正弦係数をもちます。$p=w=1$、$q=0$ の (SL) では、$\lambda\le0$ だと $y=\alpha x+\beta$ または $\alpha\sinh(\sqrt{-\lambda}\,x)+\beta\cosh(\sqrt{-\lambda}\,x)$ が両端で $0$ になるのは $y=0$ だけで、$\lambda>0$ だと $y(0)=0$ から $y=\alpha\sin(\sqrt\lambda\,x)$、$y(\ell)=0$ から $\sqrt\lambda\,\ell\in\pi\mathbb{N}$ なので、固有値は $k_n^2$、規格化した固有関数は $\varphi_n$ だけです。したがって $\{\varphi_n\}$ が完全（）であることから $u_0-v\in L^2$ はすべての $\varphi_n$ と直交し、$u_0=v$ ほとんど至るところ、連続関数なので至るところです。同様に $u_t(x,0)=\sum b_n\sin k_nx=u_1$ です。 **一意性.** 二つの解の差は、初期値・境界値が $0$ の波動方程式の解で、 を $U=(0,\ell)$（$n=1$）に適用すると $0$ です。 $u_0(x)=\frac14\bigl(3\sin\frac{\pi x}\ell-\sin\frac{3\pi x}\ell\bigr)=\sin^3\frac{\pi x}\ell$、$u_1=0$ は仮定を満たします（$u_0''=\frac{\pi^2}{4\ell^2}\bigl(-3\sin\frac{\pi x}\ell+9\sin\frac{3\pi x}\ell\bigr)$ は端点で $0$）。$a_1=\frac34$、$a_3=-\frac14$、他は $0$ なので $$ u(x,t)=\frac34\cos\frac{\pi t}\ell\,\sin\frac{\pi x}\ell-\frac14\cos\frac{3\pi t}\ell\,\sin\frac{3\pi x}\ell $$ です。基本振動（振動数 $\frac\pi\ell$）と 3 倍の倍音が重なり、$t=0$ で $u=\sin^3\frac{\pi x}\ell$、周期 $2\ell$ で元に戻ります。端点で $u_0''\ne0$ となる初期形（たとえば $u_0=x(\ell-x)$）では、$a_n\sim n^{-3}$ で $\sum n^2|a_n|=\infty$ となり、この証明の項別微分が使えません。実際、$u_0=x(\ell-x)$ を奇関数で周期 $2\ell$ に拡張した関数 $G$ は端点で $2$ 階微分が跳び（$G''=-2$ と $+2$）、d'Alembert の公式（）の解 $\frac12\bigl(G(x+t)+G(x-t)\bigr)$ は、跳びの点を特性線に沿って運ぶので $C^2$ 級になりません。 熱方程式は同じ固有関数を使い、時間部分が $\cos,\sin$ の代わりに指数関数になります。 $u_0\in C^2[0,\ell]$ で $u_0(0)=u_0(\ell)=0$ とし、$a_n=\frac2\ell\int_0^\ell u_0\sin k_nx\,dx$ とおく。 $$ u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\,e^{-k_n^2t}\sin k_nx $$ は $[0,\ell]\times[0,\infty)$ で連続、$[0,\ell]\times(0,\infty)$ で $C^\infty$ 級で、$u_t=u_{xx}$、$u(0,t)=u(\ell,t)=0$、$u(x,0)=u_0(x)$ を満たす。さらに、$u\in C^{2,1}((0,\ell)\times(0,T])\cap C([0,\ell]\times[0,T])$ でこれらを満たすものは、各 $T>0$ で $u$ だけである。 から $\sum|a_n|<\infty$ で、$|a_ne^{-k^2t}\sin kx|\le|a_n|$ から級数は $[0,\ell]\times[0,\infty)$ で一様収束し、$u$ は連続です。$u(x,0)=\sum a_n\sin k_nx=u_0$ は、 の証明の初期条件と同じ議論（完全性）です。$t\ge t_0>0$ では、$\partial_t^p\partial_x^q$ の項の絶対値は $k^{2p+q}|a_n|e^{-k^2t_0}\le Cn^{2p+q}e^{-\pi^2n^2t_0/\ell^2}|a_n|$ で、$n^re^{-cn^2}$ は $n$ について有界（$\sum_n|a_n|<\infty$ なので級数全体が収束）なので、任意階の偏導関数の項別級数が一様収束し、M 判定法（）と項別微分（）を繰り返し使って $u\in C^\infty$ で、$u_t=\sum-k^2a_ne^{-k^2t}\sin kx=u_{xx}$ です。境界条件は $\sin0=\sin n\pi=0$ から従います。一意性は、二つの解の差 $w$ が熱方程式を満たし、放物境界 $\Gamma_T$ で $0$ なので、 を $w$ と $-w$ に使って $w\equiv0$ です。 $u_0(x)=\sin\frac{\pi x}\ell+\sin\frac{3\pi x}\ell$ では $u(x,t)=e^{-\pi^2t/\ell^2}\sin\frac{\pi x}\ell+e^{-9\pi^2t/\ell^2}\sin\frac{3\pi x}\ell$ です。第 3 モードは第 1 モードの $9$ 倍の速さで減衰するので、十分時間が経つと形は基本モード $\sin\frac{\pi x}\ell$ に近づきます。弦の場合は各モードの振幅が保たれる（エネルギー保存）のと対照的に、熱では高い振動数ほど速く散逸して解が滑らかになる（$t>0$ で $C^\infty$）というのが、2 つの方程式の違いの源です。 ## 8. 演習 $q\ge0$ とする。(SL) の固有値はすべて正であることを示せ。（したがって $0$ は固有値ではなく、Green 関数が存在する。） $\varphi$ を実数値の固有関数とすると、部分積分と $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ により $\lambda\int w\varphi^2=\int(L\varphi)\varphi=\int(p\varphi'^2+q\varphi^2)\ge0$ です。$\int w\varphi^2>0$ なので $\lambda\ge0$。$\lambda=0$ なら $\varphi'\equiv0$ から $\varphi$ は定数で、$\varphi(a)=0$ により $\varphi\equiv0$ となり矛盾です。ゆえに $\lambda>0$ です。 $y''+q(x)y=0$ で $q(x)\ge4$ とする。$[0,\pi]$ 上の自明でない実数値の解は、$[0,\pi]$ に異なる零点を少なくとも 2 つ持つことを示せ。 $z(x)=\sin2x$ は $z''+4z=0$ の解で、零点 $0,\pi/2,\pi$ を持ちます。 を、$z$ を「$y$」（$g_1=4$）、考える解を「$z$」（$g_2=q\ge4$）として、$z$ の隣り合う零点 $(0,\pi/2)$ と $(\pi/2,\pi)$ に適用します。考える解 $y$ が $\sin2x$ の定数倍でないなら、$y$ は開区間 $(0,\pi/2)$ と $(\pi/2,\pi)$ の両方に零点を持ち、これらは異なる点です。定数倍なら零点 $0,\pi/2,\pi$ を持ちます。いずれにしても異なる零点が 2 つ以上あります。 $-y''+y=f$、$y(0)=y(1)=0$ の Green 関数を求めよ。 $u_1=\sinh x$、$u_2=\sinh(x-1)$ です（$u_1'(0)=1$、$u_2'(1)=1$）。$W=u_1u_2'-u_1'u_2=\sinh x\cosh(x-1)-\cosh x\sinh(x-1)=\sinh(x-(x-1))=\sinh1$ です。したがって $$ G(x,t)=-\frac{\sinh(\min\{x,t\})\,\sinh(\max\{x,t\}-1)}{\sinh1}=\frac{\sinh(\min\{x,t\})\,\sinh(1-\max\{x,t\})}{\sinh1} $$ です。$0$ は固有値でない（、$q=1\ge0$）ので前提を満たし、$G\ge0$ で、解は $f\ge0$ なら $y\ge0$ です。 $\ell=\pi$、$u_0(x)=x(\pi-x)$ として の解を求め、$t=0$、$x=\frac\pi2$ を代入して $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$ を導け。 $\int_0^\pi x(\pi-x)\sin nx\,dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}$（部分積分を 2 回）なので $a_n=\frac2\pi\cdot\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}=\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}$、すなわち $n$ が奇数で $\frac8{\pi n^3}$、偶数で $0$ です。$u_0\in C^2$ で $u_0(0)=u_0(\pi)=0$ なので が使え、$u(x,t)=\frac8\pi\sum_{k\ge0}\frac{e^{-(2k+1)^2t}}{(2k+1)^3}\sin(2k+1)x$ です。$t=0$、$x=\frac\pi2$ では $u_0(\frac\pi2)=\frac{\pi^2}4$、$\sin\frac{(2k+1)\pi}2=(-1)^k$ なので $\frac{\pi^2}4=\frac8\pi\sum_k\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}$ で、結論の値 $\frac{\pi^3}{32}$ を得ます。 ## 参考文献 - E. A. Coddington and N. Levinson, *Theory of Ordinary Differential Equations*, McGraw-Hill, 1955 — Chapter 7（Sturm–Liouville 問題の固有値と固有関数）。 - P. Hartman, *Ordinary Differential Equations*, SIAM, 2002 — Chapter XI（振動理論）。 - G. Teschl, *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*, American Mathematical Society, 2012 — Chapter 5（Sturm–Liouville 理論、Prüfer 変換）。 - 吉田耕作・加藤敏夫『大学演習 常微分方程式』裳華房 — 境界値問題。 - M. Reed and B. Simon, *Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis*, Academic Press, 1972 — Chapter VI（コンパクト作用素とHilbert–Schmidtの定理）。