級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで

0. この記事の要点

$\sin x$ や $e^x$ では書けない方程式の解を、「無限に続く多項式」$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ として表すことを考えます。方程式に代入すると係数 $a_n$ が前の係数から順に決まっていくので、これを調べれば解が本当に存在するか、どの範囲で意味をもつかが分かります。この記事を読むと、物理でよく出る Bessel・Legendre・Hermite の各方程式の解を、自分の手で級数として組み立てられるようになります。

• 係数が冪級数で書ける線形 2 階方程式 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ には、冪級数の解が存在します。しかも解の冪級数の収束半径は、係数 $p,q$ の収束半径を下回りません。これを漸化式と優級数（数列の上からの評価）で証明します。
• 係数に特異性があるとき、確定特異点では $x^{s}\sum a_nx^n$ の形の解（Frobenius 解）が作れます。指数 $s$ は決定方程式の根で、2 根の差が整数かどうかで第 2 の解の形が変わります（対数項が現れることがあります）。
• Bessel 方程式は $x=0$ が確定特異点で、決定方程式 $s^2-\nu^2=0$ から $J_{\pm\nu}$ が得られます。$\nu=1/2$ では対数項が現れず、$J_{1/2}$ が初等関数になります。
• Legendre 方程式と Hermite 方程式は $x=0$ が通常点で、パラメータが整数のとき多項式解（Legendre 多項式、Hermite 多項式）を持ちます。整数でなければ、Legendre の解は $x=\pm1$ の一方で必ず非有界になります。物理で「量子化条件」と呼ばれるものの、数学的な源泉です。
• 以上は第 5 章（Sturm–Liouville）と特殊関数のテーマ（直交多項式、Bessel 関数）の前提になります。

この記事で使う事前知識

• 冪級数と収束半径: $\sum a_nx^n$ の形の級数が、$x$ がどこまでなら収束するかを表す数のこと。
• 項別微分: 収束半径の内側では、冪級数を項ごとに微分してよい、という性質。→ 関数列と一様収束
• 線形方程式の解空間: 線形 2 階方程式の解は、一次独立な 2 つの解の組み合わせで尽くされる、という性質。→ 線形微分方程式系
• Wronskian: 2 つの解 $y_1,y_2$ から作る $y_1y_2'-y_1'y_2$ のことで、一次独立かどうかの判定に使う量。→ 線形微分方程式系
• ガンマ関数: 階乗を実数に広げた関数で、$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ を満たすもの。第 4 節で係数の書き方に使います。

1. 動機

前の章までに、定数係数の線形方程式は完全に解けることを見ました。しかし、物理に現れる線形方程式の多くは変数係数です。球対称なポテンシャルの Schrödinger 方程式は、変数分離すると Legendre 方程式（角度部分）や Bessel 方程式（円筒座標の動径部分）を与え、調和振動子は Hermite 方程式を与えます。これらは $\sin x$ や $e^x$ のような初等関数では解けません。そこで、新しい関数をそれ自体が満たす方程式から定義する、という発想が出てきます。

最も素朴な方法は、解を冪級数 $y=\sum a_nx^n$ と仮定して方程式に代入し、係数 $a_n$ の漸化式を作ることです。ここには 2 つの問題があります。

1. この形式的な級数は本当に収束するのか。収束する範囲はどこまでか。
2. 係数が $x=0$ で特異（たとえば $1/x$ を含む）のとき、冪級数の解はそもそも存在するのか。

1 は優級数の議論で、2 は Frobenius の方法で答えが出ます。どちらも、本質は「漸化式の係数の増大度を評価する」という、解析学の基本的な議論です。

以下、$y$ は実変数 $x$ の関数とします（複素数値でもよく、複素変数への拡張は 正則関数のテイラー展開（定理 5.2）［正則関数の強力な性質］ の範囲です）。

2. 通常点：解析的な係数の方程式

定義 2.1（解析的な係数）↗

関数 $p$ が $|x|<R$ で $p(x)=\sum_{k\ge0}p_kx^k$（収束冪級数）と書けるとき、$p$ は $0$ で解析的（収束半径 $\ge R$）であるという。方程式

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0\tag{S}$$

の係数 $p,q$ がともに $0$ で解析的なとき、$x=0$ を通常点という。

収束冪級数の項は有界なので、任意の $\rho<R$ に対し $M\ge1$ が存在して $|p_k|,|q_k|\le M\rho^{-k}$（$k\ge0$）が成り立ちます。次の補題が、この記事の収束の議論をすべて受け持ちます。

この補題の役目は、漸化式から決まる係数 $a_n$ が、等比数列 $Kr^{-n}$ より速くは大きくならないことを示すことです。そうなれば、冪級数は $|x|<r$ で収束します。不等式の左辺は漸化式の左辺から、右辺は「それまでの係数を足し合わせたもの」から来ています。証明は、$n$ が小さいうちは $K$ を大きく取って押さえ、あとは帰納法で $n$ まで同じ評価を引き継ぎます。

補題 2.2（漸化式の増大度の評価）✓

$M,\rho,c>0$、$\sigma\ge0$ とし、複素数列 $(a_n)_{n\ge0}$ が、ある $n_1$ 以降のすべての $n\ge n_1$ について

$$c\,n^2\,|a_n|\le M\sum_{k=0}^{n-1}\rho^{-(n-k)}(\sigma+k+1)\,|a_k|$$

を満たすとする。このとき、任意の $r\in(0,\rho)$ に対し $K$ が存在して、すべての $n$ で $|a_n|\le K\,r^{-n}$ が成り立つ。とくに $\sum a_nx^n$ の収束半径は $\rho$ 以上である。

証明（補題 2.2）

$C=\sum_{j\ge1}(r/\rho)^j=\dfrac{r/\rho}{1-r/\rho}$ とおき、$N_0\ge n_1$ を、$n\ge N_0$ ならば $c\,n^2\ge MC(\sigma+n)$ が成り立つようにとります（左辺は $n^2$、右辺は $n$ の 1 次式）。$K=\max_{k<N_0}|a_k|r^{k}$ とします。$n\ge N_0$ で、$k<n$ について $|a_k|\le Kr^{-k}$ が成り立つとすると、

$$c\,n^2|a_n|\le MK\sum_{k<n}\rho^{-(n-k)}r^{-k}(\sigma+k+1)=MKr^{-n}\sum_{k<n}\Bigl(\frac r\rho\Bigr)^{n-k}(\sigma+k+1)\le MKC\,(\sigma+n)\,r^{-n}\le c\,n^2Kr^{-n}$$

です。よって $|a_n|\le Kr^{-n}$ で、数学的帰納法により全 $n$ で成り立ちます。

∎

定理 2.3（通常点での冪級数解）✓

(S) の係数が $|x|<R$ で解析的であるとする。任意の $(a_0,a_1)$ に対し、$|x|<R$ で収束する冪級数 $y=\sum_{n\ge0}a_nx^n$ で、(S) の解であり $y(0)=a_0$、$y'(0)=a_1$ を満たすものがただ 1 つ存在する。(S) の $(-R,R)$ 上のすべての解は、この形をしている。

証明（定理 2.3）

形式的に $y=\sum a_nx^n$ を (S) に代入します。$y'=\sum(n+1)a_{n+1}x^n$、$y''=\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$ で、積は Cauchy 積で計算します。$x^n$ の係数を比べると

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}=-\sum_{k=0}^{n}\bigl[(k+1)a_{k+1}p_{n-k}+a_kq_{n-k}\bigr]\tag{2.1}$$

です。これは $a_0,a_1$ を与えれば $a_2,a_3,\dots$ を一意に定めます。

収束。 $\rho<R$ を固定し $|p_k|,|q_k|\le M\rho^{-k}$ とします。(2.1) の $n$ を $n-2$ に替えると、$n\ge2$ で

$$n(n-1)|a_n|\le M\sum_{k=0}^{n-2}\rho^{-(n-2-k)}\bigl[(k+1)|a_{k+1}|+|a_k|\bigr]\le M(\rho+\rho^2)\sum_{j=0}^{n-1}\rho^{-(n-j)}(j+1)|a_j|$$

です（$k+1$ を $j$ と読み替えると $\rho^{-(n-1-j)}=\rho\cdot\rho^{-(n-j)}$、$\rho^{-(n-2-k)}=\rho^2\rho^{-(n-k)}$ を使い、$j\le j+1$ と $k\le k+1$ で上から押さえました）。$n(n-1)\ge n^2/2$（$n\ge2$）なので 補題 2.2 の仮定（$c=1/2$、$\sigma=0$）が成り立ち、収束半径は $\rho$ 以上です。$\rho<R$ は任意だったので収束半径は $R$ 以上です。

解であること。 収束半径の内側では冪級数は項別微分でき（定理 7.3［関数列と一様収束］）、絶対収束する級数の積は Cauchy 積で与えられるので、(2.1) は $y$ が (S) を満たすことを意味します。

一意性と網羅性。 (S) は線形で、係数は $(-R,R)$ で連続ですから、定理 2.1［線形微分方程式系］ により、初期値 $(y(0),y'(0))=(a_0,a_1)$ の解は $(-R,R)$ 上でただ 1 つで、上で作った級数がそれです。

∎

とくに $p,q$ が多項式（$R=\infty$）なら、解は整関数（すべての $x$ で収束する冪級数）になります。

例 2.4（Airy 方程式）

$y''-xy=0$ では $p=0$、$q=-x$ で、(2.1) は $(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}$（$n\ge1$）、$a_2=0$ になります。したがって $a_{3m}=a_0\Big/\prod_{j=1}^{m}(3j)(3j-1)$、$a_{3m+1}=a_1\Big/\prod_{j=1}^{m}(3j+1)(3j)$、$a_{3m+2}=0$ のように、$a_0$ と $a_1$ から 3 つおきの係数が独立に決まります。解は $\mathbb{R}$ 全体で収束します。

3. 確定特異点と Frobenius の方法

$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ で $P,Q$ が $x=0$ で冪級数展開できないとき、通常点ではありません。最も扱いやすい特異性は、$P$ が $1/x$ 程度、$Q$ が $1/x^2$ 程度の発散にとどまる場合です。たとえば $y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0$ のように、係数が $x=0$ で発散しても、$x$ や $x^2$ を掛ければ冪級数になる、という状況です。次の定義は、この「掛ければ冪級数になる」を式の形で言い直したものです。

定義 3.1（確定特異点と決定方程式）↗

$x=0$ が方程式 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ の確定特異点であるとは、$p(x)=xP(x)$、$q(x)=x^2Q(x)$ が $0$ で解析的（収束半径 $\ge R$）、すなわち方程式が

$$x^2y''+x\,p(x)\,y'+q(x)\,y=0,\qquad p=\sum p_kx^k,\ q=\sum q_kx^k\tag{F}$$

の形に書けることをいう。2 次方程式

$$I(s)=s(s-1)+p_0s+q_0=0$$

を決定方程式といい、その根 $s_1,s_2$ を指数という。$\operatorname{Re}s_1\ge\operatorname{Re}s_2$ とする。

$y=x^{s}\sum a_nx^n$ を (F) に代入します。$x^2y''$ から $\sum(s+n)(s+n-1)a_nx^{s+n}$、$xpy'$ から $\sum_j p_jx^j\sum_n(s+n)a_nx^{s+n}$、$qy$ から同様の項が出るので、$x^{s+n}$ の係数を比べて

$$I(s+n)\,a_n=-\sum_{k=0}^{n-1}\bigl[(s+k)p_{n-k}+q_{n-k}\bigr]a_k\qquad(n\ge1),\qquad I(s)a_0=0\tag{3.1}$$

を得ます。$a_0\ne0$ とすれば、$s$ は決定方程式の根でなければなりません。

次の定理の (1) と (2) は、この漸化式を通常点の場合と同じように評価する議論です。(3) と (4) では、2 根が整数だけ離れていると (3.1) の左辺の係数が $0$ になって漸化式が使えないので、階数低下法（すでに 1 つ解 $y_1$ が分かっているときに、Wronskian を使って 2 つ目の解を求める方法）で第 2 の解を作ります。

定理 3.2（Frobenius の定理）✓

(F) について、$x=0$ が確定特異点で、$p,q$ が $|x|<R$ で解析的とする。

1. 指数 $s_1$ に対し、$|x|<R$ で収束する冪級数 $u(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n$（$a_0=1$）で、$y_1(x)=x^{s_1}u(x)$ が $0<x<R$ で (F) の解となるものが存在する。
2. $s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ なら、同様に $0<x<R$ 上の解 $y_2=x^{s_2}\sum b_nx^n$（$b_0=1$、収束半径 $\ge R$）が存在し、$y_1,y_2$ は一次独立である。
3. $s_1=s_2$ なら、$0$ の近傍 $(0,\rho_0)$ 上の解 $y_2=y_1\ln x+x^{s_1}\sum_{n\ge1}c_nx^n$ が存在する。
4. $s_1-s_2=N\in\{1,2,\dots\}$ なら、$(0,\rho_0)$ 上に $y_2=c\,y_1\ln x+x^{s_2}\sum_{n\ge0}d_nx^n$（$c$ は定数で $0$ のこともある、$d_0\ne0$）の形の解が存在する。3, 4 でも $y_1,y_2$ は一次独立である。ここで $\rho_0\in(0,R]$ は、$u$ を複素変数の関数と見て円板 $|z|<\rho_0$ に零点がないような最大の値である。

証明（定理 3.2）

(1) (3.1) で $s=s_1$ とします。$I(s)=(s-s_1)(s-s_2)$ より $I(s_1+n)=n(n+s_1-s_2)$ で、$|n+s_1-s_2|\ge n+\operatorname{Re}(s_1-s_2)\ge n$ なので $|I(s_1+n)|\ge n^2$ です。したがって $a_n$ は $a_0=1$ から一意に定まり、$|(s_1+k)p_{n-k}+q_{n-k}|\le M(|s_1|+k+1)\rho^{-(n-k)}$（$\rho<R$、$|p_j|,|q_j|\le M\rho^{-j}$）から

$$n^2|a_n|\le M\sum_{k<n}\rho^{-(n-k)}(|s_1|+k+1)|a_k|$$

です。補題 2.2 （$c=1$、$\sigma=|s_1|$）から収束半径は $\rho$ 以上、$\rho<R$ は任意なので $R$ 以上です。(3.1) は $y_1$ が (F) を満たすことを意味します。

(2) $s=s_2$ とします。$I(s_2+n)=n(n-(s_1-s_2))$ は、$s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ より $n\ge1$ で $0$ になりません。また $n\ge2|s_1-s_2|$ なら $|n-(s_1-s_2)|\ge n/2$ なので、定数 $c>0$ が存在して $|I(s_2+n)|\ge cn^2$（全 $n\ge1$）です。(1) と同じく 補題 2.2 を使い、収束半径が $R$ 以上の $y_2$ が得られます。$x^{s_1-s_2}$ は定数でないので $y_1,y_2$ は一次独立です。実際、$y_1/y_2=x^{s_1-s_2}u/v$（$v=\sum b_nx^n$）で、$u/v$ は $0$ の近くで $0$ でない値 $1$ から出発する解析関数なので、$s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ ならこの比は定数になりません。

(3), (4) $y_1=x^{s_1}u$ が既に得られているので、階数低下法を使います。(F) を $y''+(p/x)y'+(q/x^2)y=0$ と書くと、2 解の Wronskian $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ は $W'=-(p/x)W$ を満たします（定理 2.3［線形微分方程式系］）。$p(x)=p_0+x\tilde p(x)$（$\tilde p$ は解析的）と書くと

$$W(x)=x^{-p_0}g(x),\qquad g(x)=\exp\left(-\int_0^x\tilde p(t)\,dt\right)$$

で、$g$ は $|z|<R$ で正則、$g(0)=1$ です。$y_2/y_1$ の導関数は $(y_1y_2'-y_1'y_2)/y_1^2=W/y_1^2$ なので、$y_2=y_1\displaystyle\int W/y_1^2\,dx$ とおくと $y_1$ と一次独立な解を与えます（$y_1$ は $0<x<\rho_0$ で零にならないので定義できます）。

$s_1+s_2=1-p_0$（$I(s)=s^2+(p_0-1)s+q_0$ の根の和）なので、$N=s_1-s_2$ とすると $-p_0-2s_1=s_2-s_1-1=-N-1$ で

$$\frac{W}{y_1^2}=x^{-N-1}h(x),\qquad h=\frac{g}{u^2}=\sum_{k\ge0}h_kx^k\quad(|x|<\rho_0),\quad h_0=1$$

です（$u$ は円板 $|z|<\rho_0$ で零点をもたず、$g/u^2$ はそこで正則なので、テイラー展開（定理 5.2）［正則関数の強力な性質］ の収束円はこの円板を含みます）。項別に積分すると

$$\int\frac{W}{y_1^2}dx=h_N\ln x+\sum_{k\ne N}\frac{h_k}{k-N}x^{k-N}$$

です。$y_2$ にこれを掛けると、$y_1=x^{s_1}u$ から $y_2=h_N\,y_1\ln x+x^{s_1-N}u(x)\sum_{k\ne N}\frac{h_k}{k-N}x^k$ で、$s_1-N=s_2$ です。$N=0$ のときは $h_N=h_0=1$ で、$\sum_{k\ne0}$ は $k\ge1$ の和なので (3) の形、$N\ge1$ のときは $k=0$ の項が $-1/N\ne0$ で (4) の形（$c=h_N$）です。

∎

(3) の場合は対数項が必ず現れ（$c=1$）、(4) の場合は現れるかどうかが $h_N$ の値で決まります。現れない例を次節で見ます。

4. Bessel 方程式

定義 4.1（Bessel 方程式）↗

$\nu\ge0$ に対し

$$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$$

を Bessel 方程式という。

$p=1$、$q=x^2-\nu^2$ で、(F) の形です（$p_0=1$、$q_0=-\nu^2$、$q_2=1$、他は $0$）。決定方程式は $s^2-\nu^2=0$ で、$s_1=\nu$、$s_2=-\nu$ です。$R=\infty$ です。(3.1) は、$p_j=0$（$j\ge1$）、$q_j=0$（$j\ne0,2$）より

$$n(n+2\nu)\,a_n=-a_{n-2}\qquad(s=\nu)$$

になります。$a_1=0$（$n=1$：$(1+2\nu)a_1=0$）なので奇数番の係数は $0$ で、$a_{2m}=\dfrac{(-1)^m}{4^m\,m!\,(\nu+1)_m}a_0$（$(\nu+1)_m=(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+m)$）です。標準的な規格化 $a_0=1/(2^\nu\Gamma(\nu+1))$ により

$$J_\nu(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac x2\right)^{2m+\nu}$$

が第 1 種 Bessel 関数です（$a_0$ の値は解を定数倍するだけなので、この選び方は後の式を簡単にするための約束です。$\Gamma$ はガンマ関数で、$\nu$ が非負整数なら $\Gamma(m+\nu+1)=(m+\nu)!$ です）。定理 3.2 の 1 により、収束半径は無限大（すべての $x>0$ で収束）です。

図 1. Bessel 関数 J₀（実線）と J₁（破線）。零点の位置は交互に並び、振幅はゆっくり減衰する。

$2\nu\notin\mathbb{Z}$ なら $s_1-s_2=2\nu\notin\mathbb{Z}$ で、定理 3.2 の 2 により第 2 の解は $J_{-\nu}$ です。$\nu=0$ は 3 の場合で、第 2 の解は $J_0\ln x+\cdots$ です。

命題 4.2（半整数次の Bessel 関数）✓

$x>0$ について

$$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\,\sin x,\qquad J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\,\cos x .$$

証明（命題 4.2）

定理 5.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］ の $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ と $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ を繰り返し使うと、$m\ge0$ について

$$\Gamma\Bigl(m+\frac32\Bigr)=\frac{(2m+1)(2m-1)\cdots3\cdot1}{2^{m+1}}\sqrt\pi,\qquad \Gamma\Bigl(m+\frac12\Bigr)=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots3\cdot1}{2^{m}}\sqrt\pi$$

です（$m=0$ の後者は $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ そのもの）。$m!\,2^m=2\cdot4\cdots(2m)$ なので、奇数の積と掛け合わせて

$$m!\,\Gamma\Bigl(m+\frac32\Bigr)=\frac{(2m+1)!}{2^{2m+1}}\sqrt\pi,\qquad m!\,\Gamma\Bigl(m+\frac12\Bigr)=\frac{(2m)!}{2^{2m}}\sqrt\pi$$

を得ます。これを $J_{\pm1/2}$ の級数に代入すると

$$J_{1/2}(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m2^{2m+1}}{(2m+1)!\sqrt\pi}\cdot\frac{x^{2m+1/2}}{2^{2m+1/2}}=\sqrt{\frac2{\pi x}}\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!},$$$$J_{-1/2}(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m2^{2m}}{(2m)!\sqrt\pi}\cdot\frac{x^{2m-1/2}}{2^{2m-1/2}}=\sqrt{\frac2{\pi x}}\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}$$

です。最後に、右辺の級数が $\sin x$ と $\cos x$ であることを確かめます。$\sin$ と $\cos$ の導関数は $\pm\sin,\pm\cos$ を巡回し、$0$ での値は $0,1,0,-1$ の繰り返しなので、Taylor の定理（定理 5.3［平均値の定理とテイラーの定理］）の $n$ 次の剰余は、すべての導関数の絶対値が $1$ 以下であることから $|x|^{n+1}/(n+1)!$ 以下です。$n\ge2|x|$ なら $|x|^{n+1}/(n+1)!\le\frac12\cdot|x|^n/n!$ なので剰余は $0$ に収束し、Taylor 多項式（上の級数の部分和）は $\sin x$、$\cos x$ に収束します。

∎

例 4.3（ν = 1/2：対数項が現れない場合）

$\nu=1/2$ では $s_1-s_2=1\in\mathbb{Z}$ で 4 の場合ですが、$s=s_2=-1/2$ の漸化式は $n(n-1)a_n=-a_{n-2}$ で、$n=1$ のとき $0\cdot a_1=0$ となり、$a_1$ が自由に選べます。$a_0,a_1$ から 2 つの独立な解が得られ、対数項は不要です（$c=0$）。実際、$a_{2m}=(-1)^ma_0/(2m)!$、$a_{2m+1}=(-1)^ma_1/(2m+1)!$ で、

$$y=x^{-1/2}\bigl(a_0\cos x+a_1\sin x\bigr)$$

です。規格化まで合わせたものが 命題 4.2 の $J_{1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\sin x$、$J_{-1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\cos x$ です。球 Bessel 関数（3 次元 Helmholtz 方程式の動径解）が三角関数で書けるのは、この例の一般化です。

5. Legendre 方程式と Hermite 方程式

Legendre 方程式 $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$（$\lambda=\ell(\ell+1)$）は $y''-\dfrac{2x}{1-x^2}y'+\dfrac{\lambda}{1-x^2}y=0$ と書け、$p=-2x/(1-x^2)$、$q=\lambda/(1-x^2)$ は $|x|<1$ で解析的（$R=1$）、$x=0$ は通常点です。定理 2.3 により、冪級数解は $|x|<1$ で収束します。$y=\sum a_kx^k$ を $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$ に代入して $x^k$ の係数を比べると

$$(k+2)(k+1)a_{k+2}=\bigl(k(k+1)-\lambda\bigr)a_k\tag{5.1}$$

を得ます。偶数番と奇数番が独立です。

命題 5.1（Legendre 多項式）✓

$\lambda=\ell(\ell+1)$、$\ell\in\{0,1,2,\dots\}$ とする。Legendre 方程式は、$\ell$ 次の多項式解をもち、$P_\ell(1)=1$ と規格化したものを Legendre 多項式という。$P_0=1$、$P_1=x$、$P_2=\tfrac12(3x^2-1)$、$P_3=\tfrac12(5x^3-3x)$ である。

証明（命題 5.1）

$\ell$ が偶数なら $a_1=0$、奇数なら $a_0=0$ と取り（反対の偶奇の級数を落とす）、残りの自由な初期係数 $a_0$ または $a_1$ から (5.1) で係数を定めます。$k=\ell$ のとき (5.1) の右辺の係数 $\ell(\ell+1)-\lambda$ が $0$ なので $a_{\ell+2}=0$、以降 $a_{\ell+4}=\cdots=0$ で、$\ell$ 次の多項式 $y$ になります（$a_\ell\ne0$ は、$k<\ell$ では $k(k+1)-\lambda\ne0$ から従います）。

$y(1)\ne0$ であることを示します。$y(1)=0$ とすると $y=(x-1)^mz$（$m\ge1$、$z$ は多項式で $z(1)\ne0$）と書けます。$(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y$ の $(x-1)^{m-1}$ の係数は $-2m(m-1)z(1)-2mz(1)=-2m^2z(1)\ne0$ で（$\lambda y$ は $(x-1)^m$ 以上）、方程式に反します。よって $y(1)\ne0$ で、$y(1)=1$ に規格化できます。$P_2$ の確認：$\ell=2$ で $a_2=\frac{0-6}{2}a_0=-3a_0$ なので、$P_2(1)=a_0(1-3)=1$ から $a_0=-\tfrac12$、$P_2=\tfrac12(3x^2-1)$ です。他も同様です。

∎

$\ell$ が非負整数でないときはどうでしょうか。球面上の問題（球面調和関数）では、解が両極 $x=\pm1$（$x=\cos\theta$）で有界であることが物理的な要請です。

命題 5.2（Legendre 方程式の量子化）✓

$\lambda\ne j(j+1)$（すべての $j=0,1,2,\dots$）とする。このとき、$(-1,1)$ 上の Legendre 方程式の自明でない解は、$x\to1^-$ と $x\to-1^+$ の少なくとも一方で非有界である。

この証明の方針は、係数 $a_k$ が大体 $1/k$ のように減るなら、級数は $x=\pm1$ で $\sum x^k/k$ と同じく対数的に発散する、というものです。発散の主要部を取り出して、2 つの端点で同時に有界にはできないことを示します。

証明（命題 5.2）

偶数解 $y_e$（$a_0=1,a_1=0$）と奇数解 $y_o$（$a_0=0,a_1=1$）をとります。仮定により (5.1) の係数 $k(k+1)-\lambda$ は 0 にならないので、$a_k\ne0$（$k$ は対応する偶奇）です。(5.1) は

$$(k+2)a_{k+2}=k\,a_k\left(1-\frac{\lambda}{k(k+1)}\right)$$

と書けるので、$b_k=ka_k$ は $b_{k+2}=b_k(1-\varepsilon_k)$、$\varepsilon_k=\lambda/(k(k+1))$ を満たします。$\sum|\varepsilon_k|<\infty$ で、十分大きな $k$ から因子は正なので、無限積 $\prod(1-\varepsilon_k)$ は 0 でない値に収束し、$b_k\to b_\infty\ne0$、さらに $|b_k-b_\infty|\le C/k$ が成り立ちます（積の裾が $\sum_{j\ge k}|\varepsilon_j|\le C'/k$ で押さえられる）。よって $a_k=b_\infty/k+O(k^{-2})$ で、$O(k^{-2})$ の部分の和は $|x|\le1$ で絶対収束して有界です。したがって（$b_e,b_o\ne0$ をそれぞれ偶数番・奇数番の極限として）

$$y_e(x)=-\frac{b_e}{2}\ln(1-x^2)+O(1),\qquad y_o(x)=\frac{b_o}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}+O(1)$$

です（$\sum_{k\text{ 偶},\,k\ge2}x^k/k=-\tfrac12\ln(1-x^2)$、$\sum_{k\text{ 奇}}x^k/k=\tfrac12\ln\frac{1+x}{1-x}$）。解 $y=\alpha y_e+\beta y_o$ が $x\to1^-$ で有界なら $\ln(1-x)$ の係数から $\alpha b_e+\beta b_o=0$、$x\to-1^+$ で有界なら $\ln(1+x)$ の係数から $-\alpha b_e+\beta b_o=0$ です。2 式から $\alpha b_e=\beta b_o=0$、すなわち $\alpha=\beta=0$ です。

∎

Hermite 方程式 $y''-2xy'+2\nu y=0$ も $x=0$ が通常点（$p=-2x$、$q=2\nu$ は多項式）で、解は整関数です。(2.1) は

$$(k+2)(k+1)a_{k+2}=2(k-\nu)a_k$$

です。

命題 5.3（Hermite 多項式）✓

$\nu=n\in\{0,1,2,\dots\}$ のとき、$n$ 次多項式解があり、最高次の係数が $2^n$ になるように規格化したものを Hermite 多項式 $H_n$ という。$H_0=1$、$H_1=2x$、$H_2=4x^2-2$、$H_3=8x^3-12x$ である。$\nu\notin\{0,1,2,\dots\}$ のとき、解は多項式にならない。

証明（命題 5.3）

$k=n$ で右辺が 0 となり、$a_{n+2}=a_{n+4}=\cdots=0$ です。$a_n$ と同じ偶奇の係数だけを残し、反対の偶奇は 0 に取ります。$\nu\notin\mathbb{N}_0$ のとき、すべての $k\ge0$ で $k-\nu\ne0$ なので、$a_0\ne0$ なら偶数番の係数がすべて、$a_1\ne0$ なら奇数番の係数がすべて $0$ になりません。ゆえに自明でない解は多項式ではありません。規格化の確認：$n=2$ で $a_2=\frac{2(0-2)}{2}a_0=-2a_0$、最高次 $4$ から $a_0=-2$、$H_2=4x^2-2$。$n=3$ で $a_3=\frac{2(1-3)}{6}a_1=-\tfrac23a_1$、最高次 $8$ から $a_1=-12$、$H_3=8x^3-12x$ です。

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注意 5.4（調和振動子との関係）

Hermite 方程式で $\nu=n$ のとき、$\psi=e^{-x^2/2}y$ は $-\psi''+x^2\psi=(2n+1)\psi$ を満たします（代入すれば確かめられます）。一方、$\nu\notin\mathbb{N}_0$ のとき、(2.1) の比 $a_{k+2}/a_k\sim2/k$ は $e^{x^2}$ の係数の比と同じ増大度で、解は $e^{x^2}$ 程度に増大します。そのため $e^{-x^2/2}y$ は $L^2(\mathbb{R})$ に入らず、固有値になれるのは $2n+1$ だけ、という量子化条件になります。この増大度の主張は、ここでは立ち入りません（第 5 章の Sturm–Liouville 理論で扱う固有値問題の範囲です）。

6. 演習

演習 6.1易

漸化式 (5.1) から $P_4(x)$ を求めよ。

解答

$\ell=4$、$\lambda=20$。$a_2=\frac{0-20}{2}a_0=-10a_0$、$a_4=\frac{6-20}{12}a_2=-\frac76a_2=\frac{35}3a_0$ です。$P_4(1)=a_0\bigl(1-10+\tfrac{35}3\bigr)=\tfrac83a_0=1$ から $a_0=\tfrac38$、$P_4=\tfrac18(35x^4-30x^2+3)$ です。

演習 6.2標準

$4xy''+2y'+y=0$ を $x>0$ で Frobenius の方法で解き、$\cos\sqrt x$、$\sin\sqrt x$ が基本解であることを確認せよ。

解答

$x^2y''+\tfrac12xy'+\tfrac14xy=0$ で $p_0=\tfrac12$、$q_0=0$、$q_1=\tfrac14$（他は 0）。決定方程式 $I(s)=s(s-1)+\tfrac12s=s(s-\tfrac12)$ で、指数は $s_1=\tfrac12$、$s_2=0$（差 $\tfrac12$ は整数でない）。(3.1) より $I(s+n)a_n=-\tfrac14a_{n-1}$。$s=0$：$n(n-\tfrac12)a_n=-\tfrac14a_{n-1}$ すなわち $a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{2n(2n-1)}$ で、$a_n=\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}$ なので $y=\sum\frac{(-1)^nx^n}{(2n)!}=\cos\sqrt x$。$s=\tfrac12$：$a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{2n(2n+1)}$ で $a_n=\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}$、$y=x^{1/2}\sum\frac{(-1)^nx^n}{(2n+1)!}=\sin\sqrt x$ です。

演習 6.3標準

$\nu=0$ の Bessel 方程式の $s=0$ の解 $J_0$ を漸化式から求め、$J_0(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m}{(m!)^2}(x/2)^{2m}$ を確認せよ。第 2 の解が $J_0\ln x$ を含むことを 定理 3.2 のどの場合として説明せよ。

解答

$\nu=0$ で $n^2a_n=-a_{n-2}$、$a_1=0$ なので $a_{2m}=\dfrac{(-1)^m}{(2m)^2(2m-2)^2\cdots2^2}a_0=\dfrac{(-1)^m}{4^m(m!)^2}a_0$、$a_0=1$ とすると題意の級数です。指数は $s_1=s_2=0$（重根）なので、定理 3.2 の 3 の場合で、第 2 の解は $J_0(x)\ln x+x^0\sum_{n\ge1}c_nx^n$ の形です。

参考文献

• E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955 — Chapter 4（特異点を持つ線形方程式、Frobenius の方法）。
• G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1944 — Chapter 3（Bessel 関数の級数表示）。
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1927 — Chapters 10, 15, 17。
• 犬井鉄郎『特殊函数』岩波書店、1962 — Legendre・Bessel・Hermite 方程式。
• G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012 — Chapter 4（冪級数解）。