# 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで

> 解析的な係数の線形2階方程式の冪級数解が係数と同じ収束半径をもつことを優級数で示し、確定特異点でのFrobenius法と決定方程式を証明して、Bessel・Legendre・Hermite方程式の解を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/ode/series-solutions

## 0. この記事の要点

$\sin x$ や $e^x$ では書けない方程式の解を、「無限に続く多項式」$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ として表すことを考えます。方程式に代入すると係数 $a_n$ が前の係数から順に決まっていくので、これを調べれば解が本当に存在するか、どの範囲で意味をもつかが分かります。この記事を読むと、物理でよく出る Bessel・Legendre・Hermite の各方程式の解を、自分の手で級数として組み立てられるようになります。

- 係数が冪級数で書ける線形 2 階方程式 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ には、**冪級数の解**が存在します。しかも解の冪級数の収束半径は、係数 $p,q$ の収束半径を下回りません。これを漸化式と**優級数**（数列の上からの評価）で証明します。
- 係数に特異性があるとき、**確定特異点**では $x^{s}\sum a_nx^n$ の形の解（**Frobenius 解**）が作れます。指数 $s$ は**決定方程式**の根で、2 根の差が整数かどうかで第 2 の解の形が変わります（対数項が現れることがあります）。
- Bessel 方程式は $x=0$ が確定特異点で、決定方程式 $s^2-\nu^2=0$ から $J_{\pm\nu}$ が得られます。$\nu=1/2$ では対数項が現れず、$J_{1/2}$ が初等関数になります。
- Legendre 方程式と Hermite 方程式は $x=0$ が通常点で、パラメータが整数のとき**多項式解**（Legendre 多項式、Hermite 多項式）を持ちます。整数でなければ、Legendre の解は $x=\pm1$ の一方で必ず非有界になります。物理で「量子化条件」と呼ばれるものの、数学的な源泉です。
- 以上は第 5 章（Sturm–Liouville）と特殊関数のテーマ（直交多項式、Bessel 関数）の前提になります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **冪級数と収束半径**: $\sum a_nx^n$ の形の級数が、$x$ がどこまでなら収束するかを表す数のこと。
- **項別微分**: 収束半径の内側では、冪級数を項ごとに微分してよい、という性質。→ [関数列と一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence)
- **線形方程式の解空間**: 線形 2 階方程式の解は、一次独立な 2 つの解の組み合わせで尽くされる、という性質。→ [線形微分方程式系](/mathematics/ode/linear-systems)
- **Wronskian**: 2 つの解 $y_1,y_2$ から作る $y_1y_2'-y_1'y_2$ のことで、一次独立かどうかの判定に使う量。→ [線形微分方程式系](/mathematics/ode/linear-systems)
- **ガンマ関数**: 階乗を実数に広げた関数で、$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ を満たすもの。第 4 節で係数の書き方に使います。

</Aside>

## 1. 動機

前の章までに、定数係数の線形方程式は完全に解けることを見ました。しかし、物理に現れる線形方程式の多くは**変数係数**です。球対称なポテンシャルの Schrödinger 方程式は、変数分離すると Legendre 方程式（角度部分）や Bessel 方程式（円筒座標の動径部分）を与え、調和振動子は Hermite 方程式を与えます。これらは $\sin x$ や $e^x$ のような初等関数では解けません。そこで、**新しい関数をそれ自体が満たす方程式から定義する**、という発想が出てきます。

最も素朴な方法は、解を冪級数 $y=\sum a_nx^n$ と仮定して方程式に代入し、係数 $a_n$ の漸化式を作ることです。ここには 2 つの問題があります。

1. この形式的な級数は本当に収束するのか。収束する範囲はどこまでか。
2. 係数が $x=0$ で特異（たとえば $1/x$ を含む）のとき、冪級数の解はそもそも存在するのか。

1 は優級数の議論で、2 は Frobenius の方法で答えが出ます。どちらも、本質は「漸化式の係数の増大度を評価する」という、解析学の基本的な議論です。

以下、$y$ は実変数 $x$ の関数とします（複素数値でもよく、複素変数への拡張は <Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" text="正則関数のテイラー展開" /> の範囲です）。

## 2. 通常点：解析的な係数の方程式

<Definition id="def-analytic-coeff" title="解析的な係数">
関数 $p$ が $|x|<R$ で $p(x)=\sum_{k\ge0}p_kx^k$（収束冪級数）と書けるとき、$p$ は $0$ で**解析的**（収束半径 $\ge R$）であるという。方程式
$$
y''+p(x)y'+q(x)y=0\tag{S}
$$
の係数 $p,q$ がともに $0$ で解析的なとき、$x=0$ を**通常点**という。
</Definition>

収束冪級数の項は有界なので、任意の $\rho<R$ に対し $M\ge1$ が存在して $|p_k|,|q_k|\le M\rho^{-k}$（$k\ge0$）が成り立ちます。次の補題が、この記事の収束の議論をすべて受け持ちます。

この補題の役目は、漸化式から決まる係数 $a_n$ が、等比数列 $Kr^{-n}$ より速くは大きくならないことを示すことです。そうなれば、冪級数は $|x|<r$ で収束します。不等式の左辺は漸化式の左辺から、右辺は「それまでの係数を足し合わせたもの」から来ています。証明は、$n$ が小さいうちは $K$ を大きく取って押さえ、あとは帰納法で $n$ まで同じ評価を引き継ぎます。

<Lemma id="lem-recursion-bound" title="漸化式の増大度の評価">
$M,\rho,c>0$、$\sigma\ge0$ とし、複素数列 $(a_n)_{n\ge0}$ が、ある $n_1$ 以降のすべての $n\ge n_1$ について
$$
c\,n^2\,|a_n|\le M\sum_{k=0}^{n-1}\rho^{-(n-k)}(\sigma+k+1)\,|a_k|
$$
を満たすとする。このとき、任意の $r\in(0,\rho)$ に対し $K$ が存在して、すべての $n$ で $|a_n|\le K\,r^{-n}$ が成り立つ。とくに $\sum a_nx^n$ の収束半径は $\rho$ 以上である。
</Lemma>

<Proof of="lem-recursion-bound">
$C=\sum_{j\ge1}(r/\rho)^j=\dfrac{r/\rho}{1-r/\rho}$ とおき、$N_0\ge n_1$ を、$n\ge N_0$ ならば $c\,n^2\ge MC(\sigma+n)$ が成り立つようにとります（左辺は $n^2$、右辺は $n$ の 1 次式）。$K=\max_{k<N_0}|a_k|r^{k}$ とします。$n\ge N_0$ で、$k<n$ について $|a_k|\le Kr^{-k}$ が成り立つとすると、
$$
c\,n^2|a_n|\le MK\sum_{k<n}\rho^{-(n-k)}r^{-k}(\sigma+k+1)=MKr^{-n}\sum_{k<n}\Bigl(\frac r\rho\Bigr)^{n-k}(\sigma+k+1)\le MKC\,(\sigma+n)\,r^{-n}\le c\,n^2Kr^{-n}
$$
です。よって $|a_n|\le Kr^{-n}$ で、数学的帰納法により全 $n$ で成り立ちます。
</Proof>

<Theorem id="thm-ordinary-point" title="通常点での冪級数解">
(S) の係数が $|x|<R$ で解析的であるとする。任意の $(a_0,a_1)$ に対し、$|x|<R$ で収束する冪級数 $y=\sum_{n\ge0}a_nx^n$ で、(S) の解であり $y(0)=a_0$、$y'(0)=a_1$ を満たすものがただ 1 つ存在する。(S) の $(-R,R)$ 上のすべての解は、この形をしている。
</Theorem>

<Proof of="thm-ordinary-point">
形式的に $y=\sum a_nx^n$ を (S) に代入します。$y'=\sum(n+1)a_{n+1}x^n$、$y''=\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$ で、積は Cauchy 積で計算します。$x^n$ の係数を比べると
$$
(n+2)(n+1)a_{n+2}=-\sum_{k=0}^{n}\bigl[(k+1)a_{k+1}p_{n-k}+a_kq_{n-k}\bigr]\tag{2.1}
$$
です。これは $a_0,a_1$ を与えれば $a_2,a_3,\dots$ を一意に定めます。

**収束。** $\rho<R$ を固定し $|p_k|,|q_k|\le M\rho^{-k}$ とします。(2.1) の $n$ を $n-2$ に替えると、$n\ge2$ で
$$
n(n-1)|a_n|\le M\sum_{k=0}^{n-2}\rho^{-(n-2-k)}\bigl[(k+1)|a_{k+1}|+|a_k|\bigr]\le M(\rho+\rho^2)\sum_{j=0}^{n-1}\rho^{-(n-j)}(j+1)|a_j|
$$
です（$k+1$ を $j$ と読み替えると $\rho^{-(n-1-j)}=\rho\cdot\rho^{-(n-j)}$、$\rho^{-(n-2-k)}=\rho^2\rho^{-(n-k)}$ を使い、$j\le j+1$ と $k\le k+1$ で上から押さえました）。$n(n-1)\ge n^2/2$（$n\ge2$）なので <Ref to="lem-recursion-bound" /> の仮定（$c=1/2$、$\sigma=0$）が成り立ち、収束半径は $\rho$ 以上です。$\rho<R$ は任意だったので収束半径は $R$ 以上です。

**解であること。** 収束半径の内側では冪級数は項別微分でき（<Ref to="mathematics/real-analysis/uniform-convergence#thm-derivative-swap" />）、絶対収束する級数の積は Cauchy 積で与えられるので、(2.1) は $y$ が (S) を満たすことを意味します。

**一意性と網羅性。** (S) は線形で、係数は $(-R,R)$ で連続ですから、<Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-solution-space" /> により、初期値 $(y(0),y'(0))=(a_0,a_1)$ の解は $(-R,R)$ 上でただ 1 つで、上で作った級数がそれです。
</Proof>

とくに $p,q$ が多項式（$R=\infty$）なら、解は[**整関数**](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)（すべての $x$ で収束する冪級数）になります。

<Example id="ex-airy" title="Airy 方程式">
$y''-xy=0$ では $p=0$、$q=-x$ で、(2.1) は $(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}$（$n\ge1$）、$a_2=0$ になります。したがって $a_{3m}=a_0\Big/\prod_{j=1}^{m}(3j)(3j-1)$、$a_{3m+1}=a_1\Big/\prod_{j=1}^{m}(3j+1)(3j)$、$a_{3m+2}=0$ のように、$a_0$ と $a_1$ から 3 つおきの係数が独立に決まります。解は $\mathbb{R}$ 全体で収束します。
</Example>

## 3. 確定特異点と Frobenius の方法

$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ で $P,Q$ が $x=0$ で冪級数展開できないとき、通常点ではありません。最も扱いやすい特異性は、$P$ が $1/x$ 程度、$Q$ が $1/x^2$ 程度の発散にとどまる場合です。たとえば $y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0$ のように、係数が $x=0$ で発散しても、$x$ や $x^2$ を掛ければ冪級数になる、という状況です。次の定義は、この「掛ければ冪級数になる」を式の形で言い直したものです。

<Definition id="def-regular-singular" title="確定特異点と決定方程式">
$x=0$ が方程式 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ の**確定特異点**であるとは、$p(x)=xP(x)$、$q(x)=x^2Q(x)$ が $0$ で解析的（収束半径 $\ge R$）、すなわち方程式が
$$
x^2y''+x\,p(x)\,y'+q(x)\,y=0,\qquad p=\sum p_kx^k,\ q=\sum q_kx^k\tag{F}
$$
の形に書けることをいう。2 次方程式
$$
I(s)=s(s-1)+p_0s+q_0=0
$$
を**決定方程式**といい、その根 $s_1,s_2$ を**指数**という。$\operatorname{Re}s_1\ge\operatorname{Re}s_2$ とする。
</Definition>

$y=x^{s}\sum a_nx^n$ を (F) に代入します。$x^2y''$ から $\sum(s+n)(s+n-1)a_nx^{s+n}$、$xpy'$ から $\sum_j p_jx^j\sum_n(s+n)a_nx^{s+n}$、$qy$ から同様の項が出るので、$x^{s+n}$ の係数を比べて
$$
I(s+n)\,a_n=-\sum_{k=0}^{n-1}\bigl[(s+k)p_{n-k}+q_{n-k}\bigr]a_k\qquad(n\ge1),\qquad I(s)a_0=0\tag{3.1}
$$
を得ます。$a_0\ne0$ とすれば、$s$ は決定方程式の根でなければなりません。

次の定理の (1) と (2) は、この漸化式を通常点の場合と同じように評価する議論です。(3) と (4) では、2 根が整数だけ離れていると (3.1) の左辺の係数が $0$ になって漸化式が使えないので、**階数低下法**（すでに 1 つ解 $y_1$ が分かっているときに、Wronskian を使って 2 つ目の解を求める方法）で第 2 の解を作ります。

<Theorem id="thm-frobenius" title="Frobenius の定理">
(F) について、$x=0$ が確定特異点で、$p,q$ が $|x|<R$ で解析的とする。

1. 指数 $s_1$ に対し、$|x|<R$ で収束する冪級数 $u(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n$（$a_0=1$）で、$y_1(x)=x^{s_1}u(x)$ が $0<x<R$ で (F) の解となるものが存在する。
2. $s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ なら、同様に $0<x<R$ 上の解 $y_2=x^{s_2}\sum b_nx^n$（$b_0=1$、収束半径 $\ge R$）が存在し、$y_1,y_2$ は一次独立である。
3. $s_1=s_2$ なら、$0$ の近傍 $(0,\rho_0)$ 上の解 $y_2=y_1\ln x+x^{s_1}\sum_{n\ge1}c_nx^n$ が存在する。
4. $s_1-s_2=N\in\{1,2,\dots\}$ なら、$(0,\rho_0)$ 上に $y_2=c\,y_1\ln x+x^{s_2}\sum_{n\ge0}d_nx^n$（$c$ は定数で $0$ のこともある、$d_0\ne0$）の形の解が存在する。3, 4 でも $y_1,y_2$ は一次独立である。ここで $\rho_0\in(0,R]$ は、$u$ を複素変数の関数と見て円板 $|z|<\rho_0$ に零点がないような最大の値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-frobenius">
**(1)** (3.1) で $s=s_1$ とします。$I(s)=(s-s_1)(s-s_2)$ より $I(s_1+n)=n(n+s_1-s_2)$ で、$|n+s_1-s_2|\ge n+\operatorname{Re}(s_1-s_2)\ge n$ なので $|I(s_1+n)|\ge n^2$ です。したがって $a_n$ は $a_0=1$ から一意に定まり、$|(s_1+k)p_{n-k}+q_{n-k}|\le M(|s_1|+k+1)\rho^{-(n-k)}$（$\rho<R$、$|p_j|,|q_j|\le M\rho^{-j}$）から
$$
n^2|a_n|\le M\sum_{k<n}\rho^{-(n-k)}(|s_1|+k+1)|a_k|
$$
です。<Ref to="lem-recursion-bound" /> （$c=1$、$\sigma=|s_1|$）から収束半径は $\rho$ 以上、$\rho<R$ は任意なので $R$ 以上です。(3.1) は $y_1$ が (F) を満たすことを意味します。

**(2)** $s=s_2$ とします。$I(s_2+n)=n(n-(s_1-s_2))$ は、$s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ より $n\ge1$ で $0$ になりません。また $n\ge2|s_1-s_2|$ なら $|n-(s_1-s_2)|\ge n/2$ なので、定数 $c>0$ が存在して $|I(s_2+n)|\ge cn^2$（全 $n\ge1$）です。(1) と同じく <Ref to="lem-recursion-bound" /> を使い、収束半径が $R$ 以上の $y_2$ が得られます。$x^{s_1-s_2}$ は定数でないので $y_1,y_2$ は一次独立です。実際、$y_1/y_2=x^{s_1-s_2}u/v$（$v=\sum b_nx^n$）で、$u/v$ は $0$ の近くで $0$ でない値 $1$ から出発する解析関数なので、$s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ ならこの比は定数になりません。

**(3), (4)** $y_1=x^{s_1}u$ が既に得られているので、**階数低下法**を使います。(F) を $y''+(p/x)y'+(q/x^2)y=0$ と書くと、2 解の Wronskian $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ は $W'=-(p/x)W$ を満たします（<Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-liouville" />）。$p(x)=p_0+x\tilde p(x)$（$\tilde p$ は解析的）と書くと
$$
W(x)=x^{-p_0}g(x),\qquad g(x)=\exp\left(-\int_0^x\tilde p(t)\,dt\right)
$$
で、$g$ は $|z|<R$ で正則、$g(0)=1$ です。$y_2/y_1$ の導関数は $(y_1y_2'-y_1'y_2)/y_1^2=W/y_1^2$ なので、$y_2=y_1\displaystyle\int W/y_1^2\,dx$ とおくと $y_1$ と一次独立な解を与えます（$y_1$ は $0<x<\rho_0$ で零にならないので定義できます）。

$s_1+s_2=1-p_0$（$I(s)=s^2+(p_0-1)s+q_0$ の根の和）なので、$N=s_1-s_2$ とすると $-p_0-2s_1=s_2-s_1-1=-N-1$ で
$$
\frac{W}{y_1^2}=x^{-N-1}h(x),\qquad h=\frac{g}{u^2}=\sum_{k\ge0}h_kx^k\quad(|x|<\rho_0),\quad h_0=1
$$
です（$u$ は円板 $|z|<\rho_0$ で零点をもたず、$g/u^2$ はそこで正則なので、<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" text="テイラー展開" /> の収束円はこの円板を含みます）。項別に積分すると
$$
\int\frac{W}{y_1^2}dx=h_N\ln x+\sum_{k\ne N}\frac{h_k}{k-N}x^{k-N}
$$
です。$y_2$ にこれを掛けると、$y_1=x^{s_1}u$ から $y_2=h_N\,y_1\ln x+x^{s_1-N}u(x)\sum_{k\ne N}\frac{h_k}{k-N}x^k$ で、$s_1-N=s_2$ です。$N=0$ のときは $h_N=h_0=1$ で、$\sum_{k\ne0}$ は $k\ge1$ の和なので (3) の形、$N\ge1$ のときは $k=0$ の項が $-1/N\ne0$ で (4) の形（$c=h_N$）です。
</Proof>

(3) の場合は対数項が**必ず**現れ（$c=1$）、(4) の場合は現れるかどうかが $h_N$ の値で決まります。現れない例を次節で見ます。

## 4. Bessel 方程式

<Definition id="def-bessel-eq" title="Bessel 方程式">
$\nu\ge0$ に対し
$$
x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0
$$
を **Bessel 方程式**という。
</Definition>

$p=1$、$q=x^2-\nu^2$ で、(F) の形です（$p_0=1$、$q_0=-\nu^2$、$q_2=1$、他は $0$）。決定方程式は $s^2-\nu^2=0$ で、$s_1=\nu$、$s_2=-\nu$ です。$R=\infty$ です。(3.1) は、$p_j=0$（$j\ge1$）、$q_j=0$（$j\ne0,2$）より
$$
n(n+2\nu)\,a_n=-a_{n-2}\qquad(s=\nu)
$$
になります。$a_1=0$（$n=1$：$(1+2\nu)a_1=0$）なので奇数番の係数は $0$ で、$a_{2m}=\dfrac{(-1)^m}{4^m\,m!\,(\nu+1)_m}a_0$（$(\nu+1)_m=(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+m)$）です。標準的な規格化 $a_0=1/(2^\nu\Gamma(\nu+1))$ により

$$
J_\nu(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac x2\right)^{2m+\nu}
$$

が第 1 種 **Bessel 関数**です（$a_0$ の値は解を定数倍するだけなので、この選び方は後の式を簡単にするための約束です。$\Gamma$ はガンマ関数で、$\nu$ が非負整数なら $\Gamma(m+\nu+1)=(m+\nu)!$ です）。<Ref to="thm-frobenius" /> の 1 により、収束半径は無限大（すべての $x>0$ で収束）です。

<Figure caption="図 1. Bessel 関数 J₀（実線）と J₁（破線）。零点の位置は交互に並び、振幅はゆっくり減衰する。">
<svg viewBox="0 0 480 240" width="100%" role="img" aria-label="Bessel 関数 J0 と J1 のグラフ">
  <line x1="30" y1="140.5" x2="470" y2="140.5" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="30" y1="12" x2="30" y2="214" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
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  <text x="466" y="230" font-size="12" fill="currentColor">15</text>
  <polyline points="30,18.1 34.4,18.8 38.8,20.9 43.2,24.2 47.6,28.9 52,34.7 56.4,41.7 60.8,49.6 65.2,58.4 69.6,67.9 74,77.9 78.4,88.3 82.8,98.9 87.2,109.6 91.6,120.1 96,130.4 100.4,140.2 104.8,149.5 109.2,158 113.6,165.7 118,172.4 122.4,178.1 126.8,182.7 131.2,186.2 135.6,188.5 140,189.7 144.4,189.7 148.8,188.7 153.2,186.6 157.6,183.6 162,179.8 166.4,175.2 170.8,170 175.2,164.3 179.6,158.2 184,151.9 188.4,145.6 192.8,139.3 197.2,133.2 201.6,127.4 206,122.1 210.4,117.3 214.8,113.1 219.2,109.7 223.6,107 228,105.1 232.4,104.1 236.8,103.8 241.2,104.4 245.6,105.8 250,107.9 254.4,110.8 258.8,114.2 263.2,118.1 267.6,122.5 272,127.2 276.4,132.1 280.8,137.1 285.2,142.1 289.6,147 294,151.6 298.4,155.9 302.8,159.8 307.2,163.3 311.6,166.1 316,168.4 320.4,170 324.8,170.9 329.2,171.1 333.6,170.6 338,169.5 342.4,167.8 346.8,165.4 351.2,162.6 355.6,159.2 360,155.6 364.4,151.6 368.8,147.4 373.2,143.2 377.6,138.9 382,134.7 386.4,130.7 390.8,127 395.2,123.6 399.6,120.6 404,118.2 408.4,116.2 412.8,114.8 417.2,114 421.6,113.8 426,114.2 430.4,115.2 434.8,116.8 439.2,118.8 443.6,121.3 448,124.3 452.4,127.5 456.8,131 461.2,134.7 465.6,138.5 470,142.3" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <polyline points="30,140.5 34.4,131.4 38.8,122.4 43.2,113.7 47.6,105.4 52,97.8 56.4,90.8 60.8,84.7 65.2,79.5 69.6,75.4 74,72.2 78.4,70.2 82.8,69.4 87.2,69.6 91.6,71 96,73.4 100.4,76.9 104.8,81.3 109.2,86.5 113.6,92.5 118,99 122.4,106.1 126.8,113.5 131.2,121.2 135.6,128.9 140,136.5 144.4,143.9 148.8,150.9 153.2,157.5 157.6,163.5 162,168.8 166.4,173.4 170.8,177.1 175.2,179.9 179.6,181.8 184,182.8 188.4,182.8 192.8,182 197.2,180.2 201.6,177.7 206,174.4 210.4,170.5 214.8,166 219.2,161.1 223.6,155.8 228,150.4 232.4,144.8 236.8,139.3 241.2,133.9 245.6,128.8 250,124 254.4,119.7 258.8,115.9 263.2,112.7 267.6,110.2 272,108.4 276.4,107.4 280.8,107.1 285.2,107.5 289.6,108.7 294,110.5 298.4,113 302.8,116 307.2,119.5 311.6,123.5 316,127.7 320.4,132.2 324.8,136.8 329.2,141.4 333.6,145.9 338,150.2 342.4,154.3 346.8,158 351.2,161.2 355.6,164 360,166.2 364.4,167.8 368.8,168.8 373.2,169.1 377.6,168.8 382,167.9 386.4,166.4 390.8,164.3 395.2,161.8 399.6,158.8 404,155.4 408.4,151.7 412.8,147.8 417.2,143.9 421.6,139.8 426,135.9 430.4,132.1 434.8,128.5 439.2,125.2 443.6,122.3 448,119.9 452.4,117.9 456.8,116.4 461.2,115.5 465.6,115.2 470,115.4" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6 3" />
  <text x="41.7" y="32.1" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">J₀</text>
  <text x="85.7" y="65.5" font-size="13" fill="currentColor">J₁</text>
  <text x="454" y="134.5" font-size="12" fill="currentColor">x</text>
</svg>
</Figure>

$2\nu\notin\mathbb{Z}$ なら $s_1-s_2=2\nu\notin\mathbb{Z}$ で、<Ref to="thm-frobenius" /> の 2 により第 2 の解は $J_{-\nu}$ です。$\nu=0$ は 3 の場合で、第 2 の解は $J_0\ln x+\cdots$ です。

<Proposition id="prop-bessel-half" title="半整数次の Bessel 関数">
$x>0$ について
$$
J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\,\sin x,\qquad J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\,\cos x .
$$
</Proposition>

<Proof of="prop-bessel-half">
<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gamma-functional" /> の $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ と $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ を繰り返し使うと、$m\ge0$ について
$$
\Gamma\Bigl(m+\frac32\Bigr)=\frac{(2m+1)(2m-1)\cdots3\cdot1}{2^{m+1}}\sqrt\pi,\qquad
\Gamma\Bigl(m+\frac12\Bigr)=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots3\cdot1}{2^{m}}\sqrt\pi
$$
です（$m=0$ の後者は $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ そのもの）。$m!\,2^m=2\cdot4\cdots(2m)$ なので、奇数の積と掛け合わせて
$$
m!\,\Gamma\Bigl(m+\frac32\Bigr)=\frac{(2m+1)!}{2^{2m+1}}\sqrt\pi,\qquad m!\,\Gamma\Bigl(m+\frac12\Bigr)=\frac{(2m)!}{2^{2m}}\sqrt\pi
$$
を得ます。これを $J_{\pm1/2}$ の級数に代入すると
$$
J_{1/2}(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m2^{2m+1}}{(2m+1)!\sqrt\pi}\cdot\frac{x^{2m+1/2}}{2^{2m+1/2}}=\sqrt{\frac2{\pi x}}\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!},
$$
$$
J_{-1/2}(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m2^{2m}}{(2m)!\sqrt\pi}\cdot\frac{x^{2m-1/2}}{2^{2m-1/2}}=\sqrt{\frac2{\pi x}}\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}
$$
です。最後に、右辺の級数が $\sin x$ と $\cos x$ であることを確かめます。$\sin$ と $\cos$ の導関数は $\pm\sin,\pm\cos$ を巡回し、$0$ での値は $0,1,0,-1$ の繰り返しなので、Taylor の定理（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#thm-taylor" />）の $n$ 次の剰余は、すべての導関数の絶対値が $1$ 以下であることから $|x|^{n+1}/(n+1)!$ 以下です。$n\ge2|x|$ なら $|x|^{n+1}/(n+1)!\le\frac12\cdot|x|^n/n!$ なので剰余は $0$ に収束し、Taylor 多項式（上の級数の部分和）は $\sin x$、$\cos x$ に収束します。
</Proof>

<Example id="ex-bessel-half" title="ν = 1/2：対数項が現れない場合">
$\nu=1/2$ では $s_1-s_2=1\in\mathbb{Z}$ で 4 の場合ですが、$s=s_2=-1/2$ の漸化式は $n(n-1)a_n=-a_{n-2}$ で、$n=1$ のとき $0\cdot a_1=0$ となり、$a_1$ が**自由に選べます**。$a_0,a_1$ から 2 つの独立な解が得られ、対数項は不要です（$c=0$）。実際、$a_{2m}=(-1)^ma_0/(2m)!$、$a_{2m+1}=(-1)^ma_1/(2m+1)!$ で、
$$
y=x^{-1/2}\bigl(a_0\cos x+a_1\sin x\bigr)
$$
です。規格化まで合わせたものが <Ref to="prop-bessel-half" /> の $J_{1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\sin x$、$J_{-1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\cos x$ です。[球 Bessel 関数](/mathematics/special-functions/spherical-harmonics#def-spherical-bessel)（3 次元 Helmholtz 方程式の動径解）が三角関数で書けるのは、この例の一般化です。
</Example>

## 5. Legendre 方程式と Hermite 方程式

**Legendre 方程式** $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$（$\lambda=\ell(\ell+1)$）は $y''-\dfrac{2x}{1-x^2}y'+\dfrac{\lambda}{1-x^2}y=0$ と書け、$p=-2x/(1-x^2)$、$q=\lambda/(1-x^2)$ は $|x|<1$ で解析的（$R=1$）、$x=0$ は通常点です。<Ref to="thm-ordinary-point" /> により、冪級数解は $|x|<1$ で収束します。$y=\sum a_kx^k$ を $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$ に代入して $x^k$ の係数を比べると
$$
(k+2)(k+1)a_{k+2}=\bigl(k(k+1)-\lambda\bigr)a_k\tag{5.1}
$$
を得ます。偶数番と奇数番が独立です。

<Proposition id="prop-legendre-poly" title="Legendre 多項式">
$\lambda=\ell(\ell+1)$、$\ell\in\{0,1,2,\dots\}$ とする。Legendre 方程式は、$\ell$ 次の多項式解をもち、$P_\ell(1)=1$ と規格化したものを **Legendre 多項式**という。$P_0=1$、$P_1=x$、$P_2=\tfrac12(3x^2-1)$、$P_3=\tfrac12(5x^3-3x)$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-legendre-poly">
$\ell$ が偶数なら $a_1=0$、奇数なら $a_0=0$ と取り（反対の偶奇の級数を落とす）、残りの自由な初期係数 $a_0$ または $a_1$ から (5.1) で係数を定めます。$k=\ell$ のとき (5.1) の右辺の係数 $\ell(\ell+1)-\lambda$ が $0$ なので $a_{\ell+2}=0$、以降 $a_{\ell+4}=\cdots=0$ で、$\ell$ 次の多項式 $y$ になります（$a_\ell\ne0$ は、$k<\ell$ では $k(k+1)-\lambda\ne0$ から従います）。

$y(1)\ne0$ であることを示します。$y(1)=0$ とすると $y=(x-1)^mz$（$m\ge1$、$z$ は多項式で $z(1)\ne0$）と書けます。$(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y$ の $(x-1)^{m-1}$ の係数は $-2m(m-1)z(1)-2mz(1)=-2m^2z(1)\ne0$ で（$\lambda y$ は $(x-1)^m$ 以上）、方程式に反します。よって $y(1)\ne0$ で、$y(1)=1$ に規格化できます。$P_2$ の確認：$\ell=2$ で $a_2=\frac{0-6}{2}a_0=-3a_0$ なので、$P_2(1)=a_0(1-3)=1$ から $a_0=-\tfrac12$、$P_2=\tfrac12(3x^2-1)$ です。他も同様です。
</Proof>

$\ell$ が非負整数でないときはどうでしょうか。球面上の問題（球面調和関数）では、解が両極 $x=\pm1$（$x=\cos\theta$）で有界であることが物理的な要請です。

<Proposition id="prop-legendre-quantization" title="Legendre 方程式の量子化">
$\lambda\ne j(j+1)$（すべての $j=0,1,2,\dots$）とする。このとき、$(-1,1)$ 上の Legendre 方程式の自明でない解は、$x\to1^-$ と $x\to-1^+$ の少なくとも一方で非有界である。
</Proposition>

この証明の方針は、係数 $a_k$ が大体 $1/k$ のように減るなら、級数は $x=\pm1$ で $\sum x^k/k$ と同じく対数的に発散する、というものです。発散の主要部を取り出して、2 つの端点で同時に有界にはできないことを示します。

<Proof of="prop-legendre-quantization">
偶数解 $y_e$（$a_0=1,a_1=0$）と奇数解 $y_o$（$a_0=0,a_1=1$）をとります。仮定により (5.1) の係数 $k(k+1)-\lambda$ は 0 にならないので、$a_k\ne0$（$k$ は対応する偶奇）です。(5.1) は
$$
(k+2)a_{k+2}=k\,a_k\left(1-\frac{\lambda}{k(k+1)}\right)
$$
と書けるので、$b_k=ka_k$ は $b_{k+2}=b_k(1-\varepsilon_k)$、$\varepsilon_k=\lambda/(k(k+1))$ を満たします。$\sum|\varepsilon_k|<\infty$ で、十分大きな $k$ から因子は正なので、無限積 $\prod(1-\varepsilon_k)$ は 0 でない値に収束し、$b_k\to b_\infty\ne0$、さらに $|b_k-b_\infty|\le C/k$ が成り立ちます（積の裾が $\sum_{j\ge k}|\varepsilon_j|\le C'/k$ で押さえられる）。よって $a_k=b_\infty/k+O(k^{-2})$ で、$O(k^{-2})$ の部分の和は $|x|\le1$ で絶対収束して有界です。したがって（$b_e,b_o\ne0$ をそれぞれ偶数番・奇数番の極限として）
$$
y_e(x)=-\frac{b_e}{2}\ln(1-x^2)+O(1),\qquad y_o(x)=\frac{b_o}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}+O(1)
$$
です（$\sum_{k\text{ 偶},\,k\ge2}x^k/k=-\tfrac12\ln(1-x^2)$、$\sum_{k\text{ 奇}}x^k/k=\tfrac12\ln\frac{1+x}{1-x}$）。解 $y=\alpha y_e+\beta y_o$ が $x\to1^-$ で有界なら $\ln(1-x)$ の係数から $\alpha b_e+\beta b_o=0$、$x\to-1^+$ で有界なら $\ln(1+x)$ の係数から $-\alpha b_e+\beta b_o=0$ です。2 式から $\alpha b_e=\beta b_o=0$、すなわち $\alpha=\beta=0$ です。
</Proof>

**Hermite 方程式** $y''-2xy'+2\nu y=0$ も $x=0$ が通常点（$p=-2x$、$q=2\nu$ は多項式）で、解は整関数です。(2.1) は
$$
(k+2)(k+1)a_{k+2}=2(k-\nu)a_k
$$
です。

<Proposition id="prop-hermite-poly" title="Hermite 多項式">
$\nu=n\in\{0,1,2,\dots\}$ のとき、$n$ 次多項式解があり、最高次の係数が $2^n$ になるように規格化したものを **Hermite 多項式** $H_n$ という。$H_0=1$、$H_1=2x$、$H_2=4x^2-2$、$H_3=8x^3-12x$ である。$\nu\notin\{0,1,2,\dots\}$ のとき、解は多項式にならない。
</Proposition>

<Proof of="prop-hermite-poly">
$k=n$ で右辺が 0 となり、$a_{n+2}=a_{n+4}=\cdots=0$ です。$a_n$ と同じ偶奇の係数だけを残し、反対の偶奇は 0 に取ります。$\nu\notin\mathbb{N}_0$ のとき、すべての $k\ge0$ で $k-\nu\ne0$ なので、$a_0\ne0$ なら偶数番の係数がすべて、$a_1\ne0$ なら奇数番の係数がすべて $0$ になりません。ゆえに自明でない解は多項式ではありません。規格化の確認：$n=2$ で $a_2=\frac{2(0-2)}{2}a_0=-2a_0$、最高次 $4$ から $a_0=-2$、$H_2=4x^2-2$。$n=3$ で $a_3=\frac{2(1-3)}{6}a_1=-\tfrac23a_1$、最高次 $8$ から $a_1=-12$、$H_3=8x^3-12x$ です。
</Proof>

<Remark id="rem-hermite-oscillator" title="調和振動子との関係">
Hermite 方程式で $\nu=n$ のとき、$\psi=e^{-x^2/2}y$ は $-\psi''+x^2\psi=(2n+1)\psi$ を満たします（代入すれば確かめられます）。一方、$\nu\notin\mathbb{N}_0$ のとき、(2.1) の比 $a_{k+2}/a_k\sim2/k$ は $e^{x^2}$ の係数の比と同じ増大度で、解は $e^{x^2}$ 程度に増大します。そのため $e^{-x^2/2}y$ は $L^2(\mathbb{R})$ に入らず、固有値になれるのは $2n+1$ だけ、という量子化条件になります。この増大度の主張は、ここでは立ち入りません（第 5 章の Sturm–Liouville 理論で扱う固有値問題の範囲です）。
</Remark>

## 6. 演習

<Exercise id="exr-legendre-p4" difficulty="易">
漸化式 (5.1) から $P_4(x)$ を求めよ。
<Solution>
$\ell=4$、$\lambda=20$。$a_2=\frac{0-20}{2}a_0=-10a_0$、$a_4=\frac{6-20}{12}a_2=-\frac76a_2=\frac{35}3a_0$ です。$P_4(1)=a_0\bigl(1-10+\tfrac{35}3\bigr)=\tfrac83a_0=1$ から $a_0=\tfrac38$、$P_4=\tfrac18(35x^4-30x^2+3)$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-frobenius-sqrt" difficulty="標準">
$4xy''+2y'+y=0$ を $x>0$ で Frobenius の方法で解き、$\cos\sqrt x$、$\sin\sqrt x$ が基本解であることを確認せよ。
<Solution>
$x^2y''+\tfrac12xy'+\tfrac14xy=0$ で $p_0=\tfrac12$、$q_0=0$、$q_1=\tfrac14$（他は 0）。決定方程式 $I(s)=s(s-1)+\tfrac12s=s(s-\tfrac12)$ で、指数は $s_1=\tfrac12$、$s_2=0$（差 $\tfrac12$ は整数でない）。(3.1) より $I(s+n)a_n=-\tfrac14a_{n-1}$。$s=0$：$n(n-\tfrac12)a_n=-\tfrac14a_{n-1}$ すなわち $a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{2n(2n-1)}$ で、$a_n=\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}$ なので $y=\sum\frac{(-1)^nx^n}{(2n)!}=\cos\sqrt x$。$s=\tfrac12$：$a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{2n(2n+1)}$ で $a_n=\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}$、$y=x^{1/2}\sum\frac{(-1)^nx^n}{(2n+1)!}=\sin\sqrt x$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-bessel-zero-log" difficulty="標準">
$\nu=0$ の Bessel 方程式の $s=0$ の解 $J_0$ を漸化式から求め、$J_0(x)=\sum_{m\ge0}\frac{(-1)^m}{(m!)^2}(x/2)^{2m}$ を確認せよ。第 2 の解が $J_0\ln x$ を含むことを <Ref to="thm-frobenius" /> のどの場合として説明せよ。
<Solution>
$\nu=0$ で $n^2a_n=-a_{n-2}$、$a_1=0$ なので $a_{2m}=\dfrac{(-1)^m}{(2m)^2(2m-2)^2\cdots2^2}a_0=\dfrac{(-1)^m}{4^m(m!)^2}a_0$、$a_0=1$ とすると題意の級数です。指数は $s_1=s_2=0$（重根）なので、<Ref to="thm-frobenius" /> の 3 の場合で、第 2 の解は $J_0(x)\ln x+x^0\sum_{n\ge1}c_nx^n$ の形です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- E. A. Coddington and N. Levinson, *Theory of Ordinary Differential Equations*, McGraw-Hill, 1955 — Chapter 4（特異点を持つ線形方程式、Frobenius の方法）。
- G. N. Watson, *A Treatise on the Theory of Bessel Functions*, Cambridge University Press, 1944 — Chapter 3（Bessel 関数の級数表示）。
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, *A Course of Modern Analysis*, Cambridge University Press, 1927 — Chapters 10, 15, 17。
- 犬井鉄郎『特殊函数』岩波書店、1962 — Legendre・Bessel・Hermite 方程式。
- G. Teschl, *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*, American Mathematical Society, 2012 — Chapter 4（冪級数解）。