Dirichlet 原理

定理 5.1（「楕円型方程式の弱解と変分法」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f\in L^2(\Omega)$ とし、 $I[w]=\int_\Omega\bigl(\frac12|\nabla w|^2-fw\bigr)dx$ （ $w\in H^1_0(\Omega)$ ）とおく。 $u\in H^1_0(\Omega)$ について次は同値である。

$u$ は $-\Delta u=f$ の弱解である。すなわち、すべての $v\in H^1_0$ で $\langle\nabla u,\nabla v\rangle=\langle f,v\rangle$ 。
$I[u]=\min_{w\in H^1_0(\Omega)}I[w]$ 。

このような $u$ はただ一つ存在する。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。