# 熱方程式：基本解・放物型最大値原理・熱半群 e^{tΔ}・Feynman–Kac 公式
> Gauss 核による熱方程式の Cauchy 問題の解法、放物型最大値原理と増大度つきの一意性定理、Lᵖ 上の熱半群の性質を証明し、Brown 運動による表示から Trotter 積公式を経て有界ポテンシャルの Feynman–Kac 公式を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/pde/heat-equation
## 0. この記事の要点
熱い一点から熱がまわりに広がっていく様子を、式で正確に追う記事です。最初は一点に集めた熱が、時間がたつとどのような形に広がるのか。次に、初期の温度が決まれば後の温度がただ一つに決まるのか。最後に、この広がり方を「粒子がでたらめに動いたときの平均」として読み直します。読み終えると、熱方程式の解を具体的な式で書け、確率論の表示との関係が分かります。
- 熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の**基本解**（熱核）$\Phi(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/4t}$ は、総量 $1$ の正の Gauss 関数で、$t\to0$ で原点に集中します。$\Phi(\cdot,t)*g$ は有界連続な初期値 $g$ の Cauchy 問題を解き、$t\gt0$ で直ちに $C^\infty$ になります。
- 有界な柱状領域では、熱方程式の解は最大値を**放物境界**（底面と側面）でとります。全空間では、増大度 $|u|\le Ae^{a|x|^2}$ を課すと同じ最大値原理が成り立ち、Cauchy 問題の解はこの範囲で一意です。
- $P_tf=\Phi(\cdot,t)*f$ は各 $L^p$ 上の正値な縮小半群で、$1\le p\lt\infty$ では強連続です。$L^2$ では[自己共役作用素](/mathematics/functional-analysis/self-adjoint-extensions#def-self-adjoint) $\Delta$ の半群 $e^{t\Delta}$ に一致し、$C_c^2$ 関数上で生成子（$\frac1t(P_tf-f)$ の $t\to0$ での極限として得られる作用素）は $\Delta$ です。ここで強連続とは、各 $f$ について $t\to0$ で $P_tf\to f$ となることです。
- Brown 運動 $B$ を使うと $P_tf(x)=E[f(x+\sqrt2B_t)]$ で、熱方程式は「粒子の拡散の[期待値](/mathematics/probability/random-variables#def-expectation)」です。有界連続なポテンシャル $V$ については、Trotter 積公式（$e^{t(A+B)}$ を $e^{tA}$ と $e^{tB}$ の交互の積で近似する公式）から **Feynman–Kac 公式** $e^{-t(-\Delta+V)}f(x)=E\bigl[e^{-\int_0^tV(x+\sqrt2B_s)ds}f(x+\sqrt2B_t)\bigr]$ が出ます。
## 1. 動機
熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ は、温度や濃度が「高いところから低いところへ、勾配に比例して流れる」という法則（Fourier の法則・Fick の法則）と保存則を組み合わせたものです。前章の調和関数はその定常解でした。
熱方程式には、波動方程式と対照的な 2 つの特徴があります。一つは**平滑化**で、初期値がどれほど荒くても $t\gt0$ では解が $C^\infty$ になります。もう一つは**無限の伝播速度**で、初期値が原点の近くにしかなくても、$t\gt0$ ではすべての点で解が正になります。どちらも熱核 $\Phi$ が全空間で正の滑らかな関数であることから来ます。
もう一つの見方は確率論です。$\Phi(\cdot,t)$ は分散 $2t$ の正規分布の密度なので、熱方程式の解は「Brown 運動する粒子が時刻 $t$ にいる場所での初期値の期待値」です。この見方を Schrödinger 作用素 $-\Delta+V$ に延ばしたのが Feynman–Kac 公式で、量子力学の虚時間発展を経路の上の積分として書き表します。本章では、この公式を作用素論（Trotter 積公式）と Brown 運動の有限次元分布だけから証明します。
## 2. 熱核
以下、$\mathbb{R}^n\times(0,T]$ のような集合の上の関数 $u(x,t)$ について、$u,\partial_tu,\partial_iu,\partial_i\partial_ju$ が連続であることを $u\in C^{2,1}$ と書きます。
$x\in\mathbb{R}^n$、$t\gt0$ について
$$
\Phi(x,t)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp\Bigl(-\frac{|x|^2}{4t}\Bigr)
$$
とおき、**熱核**（熱方程式の基本解）という。$\Phi_t=\Phi(\cdot,t)$ とも書く。
1. $\Phi\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times(0,\infty))$、$\Phi\gt0$ で、$\partial_t\Phi=\Delta\Phi$。
2. すべての $t\gt0$ で $\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x,t)\,dx=1$。
3. すべての $\delta\gt0$ で $\int_{|x|\ge\delta}\Phi(x,t)\,dx\to0$（$t\to0$）。
4. $\Phi_t*\Phi_s=\Phi_{t+s}$（$t,s\gt0$）。
(1) $\partial_t\Phi=\bigl(-\frac n{2t}+\frac{|x|^2}{4t^2}\bigr)\Phi$、$\partial_i\Phi=-\frac{x_i}{2t}\Phi$、$\partial_i^2\Phi=\bigl(-\frac1{2t}+\frac{x_i^2}{4t^2}\bigr)\Phi$ で、$i$ について足すと一致します。
(2) $\Phi_t(x)=\prod_{i=1}^n(4\pi t)^{-1/2}e^{-x_i^2/4t}$ と分かれるので、Fubini の定理と Gauss 積分 $\int_{\mathbb{R}}e^{-a y^2}dy=\sqrt{\pi/a}$（
$g\in C(\mathbb{R}^n)$ が有界であるとし、
$$
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)\,g(y)\,dy\qquad(x\in\mathbb{R}^n,\ t\gt0)
$$
とおく。このとき $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times(0,\infty))$、$\partial_tu=\Delta u$、$\sup|u|\le\sup|g|$ で、すべての $x_0$ について $\lim_{(x,t)\to(x_0,0),\,t\gt0}u(x,t)=g(x_0)$ である。
**滑らかさ。** $\partial_t^k\partial_x^\alpha\Phi(x-y,t)$ は $t^{-m}\times$（$x-y$ の多項式）$\times\Phi(x-y,t)$ の有限和です。$|x|\le R$、$t_1\le t\le t_2$ の範囲では、$|y|\ge2R$ で $|x-y|\ge|y|/2$ なので、これは $C(1+|y|)^Ne^{-|y|^2/16t_2}$ で一様に抑えられ、可積分です。$g$ は有界なので、積分記号下の微分（