数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

Fredholm の択一定理

定理 5.3（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§5） ・ ✓公理まで証明済み

K∈K(H)K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})、λ∈C∖{0}\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\} とする。次のいずれか一方だけが成り立つ。

  • (a) 任意の y∈Hy\in\mathcal{H} に対し、(K−λ)x=y(K - \lambda)x = y はただ 1 つの解 xx をもつ。
  • (b) 斉次方程式 (K−λ)x=0(K - \lambda)x = 0 が 00 でない解をもつ。

(b) の場合、dim⁡Ker(K−λ)=dim⁡Ker(K∗−λˉ)<∞\dim\mathrm{Ker}(K - \lambda) = \dim\mathrm{Ker}(K^* - \bar\lambda) < \infty であり、(K−λ)x=y(K - \lambda)x = y が解をもつための必要十分条件は y⊥Ker(K∗−λˉ)y\perp\mathrm{Ker}(K^* - \bar\lambda) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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