数学 › 作用素環と量子統計力学 › 表現の準同値と準自由状態の判定有料章

準同値の特徴づけ

定理 3.3（「表現の準同値と準自由状態の判定」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 117 件、定義なども含めて 132 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 因子では中心台は 1✓命題 2.2・因子の型分類
• von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理

  • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 3 つの位相の強弱✓命題 5.2・有界作用素と共役作用素
    • トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
      • 極分解✓定理 4.11・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
      • Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
      • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
      • Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Banach–Alaoglu の定理✓定理 7.3・Banach 空間の基本定理

      • Banach–Alaoglu の定理✓定理 6.1・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
      • 可分な場合の点列版✓定理 6.2・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
  • 可換子の基本性質✓命題 3.1・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
  • Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成

    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 正規状態の特徴づけ✓定理 5.3・von Neumann 環と二重可換子定理

  • Vigier の定理（単調収束）✓補題 5.1・von Neumann 環と二重可換子定理

    • von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理

      • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
  • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 因子表現の二分法✓命題 3.4・表現の準同値と準自由状態の判定
• 確率測度の状態の準同値✓命題 4.1・表現の準同値と準自由状態の判定
• Bures の定理（Kakutani の定理の非可換版）✓定理 5.5・準自由状態の準同値

関連するノック 1 問

• 作用素環と量子統計力学 第 64 問有料