例外集合を許す変数変換公式

系 5.2（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§5）・ ✓公理まで証明済み

$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、 $\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像とする。 $U$ の相対閉集合 $Z$ で $m(Z)=0$ となるものがあり、 $U\setminus Z$ の上で $\Phi$ は単射かつ $\det D\Phi\ne0$ であるとする。このとき $\Phi(U)$ はボレル集合で、任意のボレル関数 $f:\mathbb{R}^d\to[0,\infty]$ について

\int_{\Phi(U)}f(y)\,dy=\int_Uf(\Phi(x))\,|\det D\Phi(x)|\,dx .

$f$ が実数値（複素数値）なら、片方の積分が絶対収束すれば他方も絶対収束して等号が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 95 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質（上で展開済み）
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
    外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 5.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標

例外集合を許す変数変換公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件