数学 › コンパクト群の表現 › Haar 測度有料章

コンパクト群の正規化 Haar 測度

定理 5.1（「Haar 測度」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度

  • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
  • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
• Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度

  • Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

    • コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理

      • 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
      • 超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
    • 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理

      • 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

    • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間

      • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間

      • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性

      • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性

      • 縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
  • $I_φ$ のほぼ加法性✓補題 3.5・Haar 測度

    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
    • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    • 被覆数 (f:φ) の性質✓補題 3.4・Haar 測度
  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Fubini の定理（$C_c$ 版）✓補題 2.2・Haar 測度

    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
    • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
  • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
• Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度

これを使っている定理 証明で参照している 11 件

• ラプラシアンは不変ベクトル場の 2 乗和✓命題 5.2・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
• Casimir の増大と熱跡の有限性✓補題 5.4・Casimir 作用素と群上のラプラシアン
• Weyl の積分公式（SU(2)）✓定理 4.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
• 準同型による Haar 測度の像✓系 5.3・Haar 測度
• 正則表現のユニタリ性と強連続性✓命題 7.1・Haar 測度
• 不変内積の存在（ユニタリ化）✓命題 7.2・Haar 測度
• 平均による絡作用素の構成✓補題 4.1・Peter–Weyl の定理
• 離散アーベル群の双対性✓命題 7.2・Peter–Weyl の定理
• 時間ゲージと残るゲージ変換の平均（原論文 (6)–(8)、脚注 3）✓命題 3.5・Lüscher (1977)
• 指数型ゲージ固定の Faddeev–Popov 恒等式（原論文 (0.15)(0.16)）✓命題 3.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場

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