数学 › コンパクト群の表現 › Peter–Weyl の定理有料章

離散アーベル群の双対性

命題 7.2（「Peter–Weyl の定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 82 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度

  • モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度

    • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度（上で展開済み）
  • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度

    • Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

      • コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
    • $I_φ$ のほぼ加法性✓補題 3.5・Haar 測度

      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
      • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
      • 被覆数 (f:φ) の性質✓補題 3.4・Haar 測度
    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • Fubini の定理（$C_c$ 版）✓補題 2.2・Haar 測度

      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間（上で展開済み）
      • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass（上で展開済み）
    • $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
• Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

  • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束 この先をたどる →
• $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
    • 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

    • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
  • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• コンパクトアーベル群の双対性✓命題 7.3・Peter–Weyl の定理
• Bohr コンパクト化の普遍性✓定理 7.5・Peter–Weyl の定理
• AP(G) ≅ C(bG)✓定理 7.9・Peter–Weyl の定理
• 平均値と一意性✓命題 7.10・Peter–Weyl の定理