有限次元既約表現の分類

定理 4.3（「ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の有限次元の既約な（連続、複素線形空間上の）表現は、同値を除いて、非負の半整数の組 $(j_1,j_2)$ （ $j_1,j_2\in\lbrace0,\tfrac12,1,\ldots\rbrace$ ）で過不足なく分類されます。表現 $(j_1,j_2)$ は次元 $(2j_1+1)(2j_2+1)$ をもち、その生成子は $\mathcal{A}^i$ がスピン $j_1$ 、 $\mathcal{B}^i$ がスピン $j_2$ の $\mathfrak{su}(2)$ 表現行列として作用するものです。回転部分群 $SU(2)$ に制限すると、 $J^i = \mathcal{A}^i + \mathcal{B}^i$ なので角運動量の合成と同じく

(j_1,j_2)\big|_{SU(2)} = |j_1 - j_2| \oplus (|j_1-j_2|+1)\oplus\cdots\oplus(j_1+j_2)

と分解します。 $(j_1,j_2)$ が $\mathcal{L}^\uparrow_+$ の（1 価の）表現になるのは $j_1 + j_2$ が整数のとき、かつそのときに限ります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 111 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

SL(2,C) の有限次元表現の分類✓定理 4.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- 連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像
    指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  - Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像
    指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  - 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環（上で展開済み）
    Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- 単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）✓定理 7.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 系 5.2✓行列 Lie 群と指数写像
    連結リー群は指数写像の像で生成される✓系 6.5・リー群とリー環（上で展開済み）
  - 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像
    指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像この先をたどる →
    随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
- 連結リー群は指数写像の像で生成される✓系 6.5・リー群とリー環
  - 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
    指数写像定義 6.1・リー群とリー環
  - 左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環
    リー群定義 3.1・リー群とリー環
    微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- sl(2,C) の複素化✓補題 3.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- sl(2,C) の有限次元加群の構造✓系 10.2・Lie 環の構造論
  - Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論
    単純イデアルへの分解✓定理 8.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
    Casimir 作用素の性質✓補題 9.1・Lie 環の構造論
- 直和 Lie 環の既約表現✓補題 3.2・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論（上で展開済み）
- Clebsch–Gordan 分解✓定理 4.8・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 重複度の公式と指標による判定✓系 3.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
    指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
    指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - SU(2) の共役類✓補題 4.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - $V_j$ はユニタリ表現✓命題 4.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- SL(2,C) による 2 対 1 被覆✓定理 3.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類（上で展開済み）
SL(2,C) による 2 対 1 被覆✓定理 3.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- ローレンツ群の連結成分✓命題 3.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

有限次元既約表現の分類

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）