数学 › 多様体論 › リー群とリー環

連結リー群は指数写像の像で生成される

系 6.5（「リー群とリー環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を連結なリー群とすると、任意の $g \in G$ は有限個の元の積

g = \exp(X_1)\exp(X_2)\cdots\exp(X_m) \qquad (X_1,\dots,X_m \in \mathfrak{g})

として表せます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
- 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環
- リー群定義 3.1・リー群とリー環
- 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性

これを使っている定理証明で参照している 2 件

SL(2,C) の有限次元表現の分類✓定理 4.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
系 5.2✓行列 Lie 群と指数写像

関連するノック 2 問