リー群

集合 $G$ が次の 3 条件を満たすとき、$G$ をリー群といいます。

1. $G$ は群である。
2. $G$ は有限次元の滑らかな多様体である。
3. 積 $\mu \colon G \times G \to G,\ \mu(g,h) = gh$ と逆元 $\iota \colon G \to G,\ \iota(g) = g^{-1}$ がともに滑らかである（$G \times G$ には積多様体の構造を入れる）。

$G$ の単位元を $e$ と書きます。$G$ の次元とは多様体としての次元のことです。