数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › Lorentz 群・Poincaré 群の表現

直和 Lie 環の既約表現

補題 3.2（「Lorentz 群・Poincaré 群の表現」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2$ をともに $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ と同型な複素 Lie 環とする。 $\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2$ の有限次元既約表現は、ただ 1 組の $(m,n)$ について外部テンソル積 $V(m)\boxtimes V(n)$ （ $(x_1,x_2)\cdot(v\otimes w)=x_1v\otimes w+v\otimes x_2w$ ）と同型である。逆に $V(m)\boxtimes V(n)$ はすべて既約である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 57 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論
- 単純イデアルへの分解✓定理 8.2・Lie 環の構造論
  - Cartan の判定法✓定理 7.2・Lie 環の構造論
    系 5.2✓Lie 環の構造論この先をたどる →
    冪零行列の ad は冪零✓補題 4.1・Lie 環の構造論
    Engel の定理✓系 4.3・Lie 環の構造論この先をたどる →
    跡が消えれば冪零✓補題 7.1・Lie 環の構造論この先をたどる →
- Casimir 作用素の性質✓補題 9.1・Lie 環の構造論

これを使っている定理証明で参照している 1 件

SL(2,C) の有限次元表現の分類✓定理 4.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現

直和 Lie 環の既約表現

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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