各点 Kan 拡張の公式

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$\mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、$K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を関手とし、各 $d \in \mathcal{D}$ について図式 $FP_d : (K \downarrow d) \to \mathcal{E}$ が余極限 $(L(d), (\iota^{d}_{(c, u)})_{(c, u)})$ をもつとする（たとえば $\mathcal{E}$ が余完備ならつねにそうである）。このとき次が成り立つ。

1. 射 $v : d \to d'$ に、すべての $(c, u)$ で $L(v) \circ \iota^{d}_{(c, u)} = \iota^{d'}_{(c, vu)}$ を満たすただ一つの射 $L(v)$ を対応させると、$L : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ は関手である。
2. $\eta_c = \iota^{Kc}_{(c, \mathrm{id}_{Kc})} : F(c) \to LK(c)$ は自然変換 $\eta : F \Rightarrow LK$ を定め、$(L, \eta)$ は $F$ の $K$ に沿った各点左 Kan 拡張である。
3. 自然変換 $\tau : F \Rightarrow GK$ に対応する $\sigma : L \Rightarrow G$ は、$\sigma_d \circ \iota^{d}_{(c, u)} = G(u) \circ \tau_c$ で特徴づけられる。

双対的に、図式 $(d \downarrow K) \to \mathcal{E}$ がすべて極限をもてば（たとえば $\mathcal{E}$ が完備なら）、各点右 Kan 拡張が極限の公式で存在する。