楔・エンド・コエンド・関手のテンソル積

$H : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を双関手とする。

1. $e \in \mathcal{E}$ を頂点とする $H$ への楔とは、射の族 $\omega_c : e \to H(c, c)$ で、すべての $f : c \to c'$ について

を満たすものをいう。楔の全体 $\operatorname{Wd}(e, H)$ は、$e$ の射との合成によって $e$ について反変な関手になる。その普遍元、すなわち楔 $(E, \omega)$ で、任意の楔 $(e, \kappa)$ に対し $\omega_c \circ u = \kappa_c$ となる $u : e \to E$ がただ一つあるものを $H$ のエンドといい、$\int_{c} H(c, c)$ と書く。 2. 双対的に、族 $\psi_c : H(c, c) \to e$ で $\psi_c \circ H(f, \mathrm{id}_c) = \psi_{c'} \circ H(\mathrm{id}_{c'}, f)$（$H(c', c) \to e$）を満たすものを余楔、普遍な余楔をコエンドといい、$\int^{c} H(c, c)$ と書く。 3. 前層 $W : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ と関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$（$\mathcal{E}$ は小さい余積をもつ）について、集合 $S$ と $e \in \mathcal{E}$ の余冪 $S \cdot e = \coprod_{s \in S} e$ を使った双関手 $(c', c) \mapsto W(c') \cdot F(c)$ のコエンド

を、$W$ と $F$ のテンソル積という。