自然変換の集合はエンド

命題 5.3（「Kan 拡張と前層の圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{C}$ を小さい圏、 $\mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、 $F, G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を関手とする。 $\operatorname{Nat}(F, G)$ と射影 $\alpha \mapsto \alpha_c$ は、双関手 $(c', c) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc', Gc)$ のエンドである：

\operatorname{Nat}(F, G) \cong \int_{c} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc, Gc).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hom 関手と Hom 双関手✓命題 4.4・圏・関手・自然変換
- 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
エンドは積と等化子で書ける✓補題 5.2・Kan 拡張と前層の圏
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限
  - 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
  - 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
    Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
    順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
  - 商集合の普遍性✓定理 5.1・関係と同値関係
    同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係この先をたどる →
  - 直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
  - 部分加群・剰余加群・準同型定義 2.1・加群・完全列・中山の補題
  - 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
    直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 直和位相の普遍性✓命題 4.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

自然変換の集合はエンド

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）