エンドは積と等化子で書ける

$\mathcal{C}$ を小さい圏とし、$\mathcal{E}$ は小さい積と等化子をもつとする。双関手 $H : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ について、$P = \prod_{c} H(c, c)$、$Q = \prod_{f : c \to c'} H(c, c')$（射影を $p_c$、$q_f$）とし、$s, t : P \to Q$ を $q_f s = H(\mathrm{id}_c, f)\,p_c$、$q_f t = H(f, \mathrm{id}_{c'})\,p_{c'}$ で定める。$s, t$ の等化子 $e : E \to P$ について $(E, (p_c e)_c)$ は $H$ のエンドである。とくに $\mathsf{Set}$ では

双対的に、小さい余積と余等化子をもつ $\mathcal{E}$ ではコエンドが余等化子として存在し、$\mathsf{Set}$ では $\int^{c} H(c, c) = \bigl(\bigsqcup_{c} H(c, c)\bigr)/{\sim}$（$\sim$ は $z \in H(c', c)$、$f : c \to c'$ についての $H(f, \mathrm{id}_c)(z) \sim H(\mathrm{id}_{c'}, f)(z)$ が生成する同値関係）である。