エンドの Fubini の定理

$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を小さい圏、$H : (\mathcal{C} \times \mathcal{D})^{\mathrm{op}} \times (\mathcal{C} \times \mathcal{D}) \to \mathcal{E}$ を双関手とし、$H((c, d), (c', d'))$ を $H(c, d; c', d')$ と書く。各 $c, c'$ について双関手 $(d, d') \mapsto H(c, d; c', d')$ がエンド $(H'(c, c'), (\pi^{c, c'}_d)_d)$ をもつとする。

1. $a : c_2 \to c_1$、$b : c_1' \to c_2'$ に、すべての $d$ で $\pi^{c_2, c_2'}_d \circ H'(a, b) = H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_d) \circ \pi^{c_1, c_1'}_d$ を満たすただ一つの射を対応させると、$H' : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ は双関手である。
2. $H'$ のエンド $(M, (\mu_c)_c)$ があるなら、$(M, (\pi^{c, c}_d \circ \mu_c)_{(c, d)})$ は $H$ のエンドである。

したがって関係するエンドがすべて存在するとき、$\int_{c}\int_{d} H(c, d; c, d) \cong \int_{(c, d)} H(c, d; c, d) \cong \int_{d}\int_{c} H(c, d; c, d)$。コエンドについても双対の主張が成り立つ。