随伴は Kan 拡張である

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ が随伴 $F \dashv G$ で、単位を $\eta$、余単位を $\varepsilon$ とする。このとき $(G, \eta : \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF)$ は恒等関手 $\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張であり、$(F, \varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}})$ は恒等関手 $\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ の $G$ に沿った右 Kan 拡張である。とくに左随伴は $F \cong \operatorname{Ran}_G \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$、右随伴は $G \cong \operatorname{Lan}_F \mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ と表せる。