フィルター付き複体のスペクトル系列

定理 4.2（「スペクトル系列」§4）・ ✓公理まで証明済み

$C$ をフィルター付き複体とする。

D^{p,n} = H^n(F^pC), \qquad E^{p,n} = H^n(\operatorname{gr}^pC)

とし、 $i = H^n(\iota^p)$ 、 $j$ を射影 $F^pC \to \operatorname{gr}^pC$ が誘導する射、 $k$ を短完全列 $0 \to F^{p+1}C \to F^pC \to \operatorname{gr}^pC \to 0$ の連結射とすると、 $(D, E; i, j, k)$ は第 $1$ 種の完全対である。その $(r-1)$ 回の導来対の $E$ を $E_r$ とし、 $E_r^{p,q} = E_r^{p,p+q}$ （右辺は $(p,n)$ 添字）、 $d_r = j_r k_r$ とおくと、 $(E_r, d_r)_{r \ge 1}$ はスペクトル系列で、

E_1^{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{gr}^pC)

である。このスペクトル系列はフィルター付き複体の射について関手的である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
導来対✓補題 3.2・スペクトル系列
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 元（member）定義 6.1・加法圏とアーベル圏
- 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元の同値関係✓補題 6.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 元の同値関係✓補題 6.2・加法圏とアーベル圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏
- 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

二重複体の二つのスペクトル系列✓系 5.1・スペクトル系列

フィルター付き複体のスペクトル系列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件