数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 導来関手と δ 関手

Tor の平衡性の自然性

系 7.2（「導来関手と δ 関手」§7） ・ ✓公理まで証明済み

NN を AA 加群、εQ ⁣:Q→N\varepsilon_Q\colon Q \to N を射影分解とする。

  1. 同型の族 τn ⁣:Tor⁡nA(M,N)→Hn(M⊗Q)\tau_n\colon \operatorname{Tor}_n^A(M, N) \to H_n(M \otimes Q)（n≥0n \ge 0）で、MM について自然であり、MM の短完全列について連結射（左辺は 命題 7.1 の 2 の L∙(−⊗N)L_\bullet(- \otimes N) のもの、右辺は複体の短完全列 0→M′⊗Q→M⊗Q→M′′⊗Q→00 \to M' \otimes Q \to M \otimes Q \to M'' \otimes Q \to 0 のもの）と可換であり、n=0n = 0 では ε⊗1\varepsilon \otimes 1 と 1⊗εQ1 \otimes \varepsilon_Q が与える同型 Tor⁡0(M,N)≅M⊗N≅H0(M⊗Q)\operatorname{Tor}_0(M, N) \cong M \otimes N \cong H_0(M \otimes Q) に一致するものが、ただ一つ存在する。
  2. τ\tau は NN についても自然である。すなわち g ⁣:N→N′g\colon N \to N'、N′N' の射影分解 Q′Q'、gg の持ち上げ ψ ⁣:Q→Q′\psi\colon Q \to Q' について Hn(M⊗ψ) τn=τn′Tor⁡n(M,g)H_n(M \otimes \psi)\, \tau_n = \tau'_n \operatorname{Tor}_n(M, g) が成り立つ。
  3. とくに、MM と NN の両方について自然な同型 Tor⁡nA(M,N)≅Tor⁡nA(N,M)\operatorname{Tor}_n^A(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n^A(N, M) がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 75 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 13 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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