随伴と導来関手（Shapiro 型の補題）

命題 6.3（「導来関手と δ 関手」§6）・ ✓公理まで証明済み

$G\colon \mathcal A \to \mathcal B$ をアーベル圏の間の関手とし、左随伴 $L\colon \mathcal B \to \mathcal A$ をもつとする（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。 $G$ と $L$ はともに完全であるとする。

$G$ は入射対象を入射対象に、 $\mathcal A$ の入射分解を $\mathcal B$ の入射分解に写す。
$\mathcal A, \mathcal B$ が十分に入射対象をもち、 $F\colon \mathcal B \to \mathcal C$ が左完全なら、δ 関手の同型 $R^\bullet(F G) \cong (R^\bullet F) \circ G$ がある。
$\mathcal A, \mathcal B$ が十分に入射対象をもつなら、 $X \in \mathcal A$ 、 $Y \in \mathcal B$ について両変数に自然な同型 $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal B}(Y, GX) \cong \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(LY, X)$ がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 57 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
随伴と完全性✓命題 4.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
  - mono と核対✓命題 7.1・極限と余極限
    極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限この先をたどる →
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 加法の一意性✓命題 3.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
- 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手
- 普遍 δ 関手定義 4.2・導来関手と δ 関手
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

随伴と導来関手（Shapiro 型の補題）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）