対角化可能性の判定

定理 3.7（「対角化とジョルダン標準形」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A \in M_n(K)$ が $K$ 上対角化可能であるための必要十分条件は、次の 2 つがともに成り立つことである。

固有多項式 $\chi_A(t)$ が $K$ 上で 1 次式の積に分解する。すなわち相異なる $\lambda_1, \ldots, \lambda_s \in K$ と正整数 $m_1, \ldots, m_s$ により $\chi_A(t) = \prod_{i=1}^{s}(t-\lambda_i)^{m_i}$ と書ける。
すべての固有値 $\lambda_i$ について $m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$ が成り立つ。

同値な言い換えとして、 $A$ が対角化可能であることと $\sum_{i=1}^{s} m_g(\lambda_i) = n$ であることは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
異なる固有値の固有ベクトルは一次独立✓補題 3.3・対角化とジョルダン標準形
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
幾何的重複度は代数的重複度を超えない✓命題 3.6・対角化とジョルダン標準形
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
- 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形（上で展開済み）

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。