Marsaglia の定理

定理 4.3（「擬似乱数生成器」§4）・ ✓公理まで証明済み

線形合同法 $x_{k+1} = (ax_k + c) \bmod m$ と $d \ge 1$ について、次を満たす零でない整数ベクトル $\boldsymbol{c} = (c_0, \ldots, c_{d-1})$ が存在する。

\sum_{i=0}^{d-1} c_ia^i \equiv 0 \pmod m, \qquad \ell := \sum_{i=0}^{d-1} |c_i| \le (d!\,m)^{1/d}.

このような $\boldsymbol{c}$ について、実数 $\theta$ があって、すべての $k$ で $\langle \boldsymbol{c}, \boldsymbol{u}_k\rangle \in \theta + \mathbb{Z}$ となる。したがって点 $\boldsymbol{u}_k$ はすべて、平行な超平面 $\{\boldsymbol{u} : \langle\boldsymbol{c}, \boldsymbol{u}\rangle = \theta + j\}$ （ $j \in \mathbb{Z}$ ）のうち高々 $\ell$ 枚の上に載る。特に、枚数は $(d!\,m)^{1/d}$ 以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
- 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
線形合同法の格子構造✓定理 4.2・擬似乱数生成器
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
- 線形合同法の閉じた形✓補題 3.2・擬似乱数生成器
  - 合同式の四則✓命題 3.3・合同式とフェルマーの小定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Marsaglia の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

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