数学 › フーリエ解析と超関数 › 核型空間と Bochner–Minlos の定理

有限次元の Gauss 測度

命題 2.5（「核型空間と Bochner–Minlos の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $n\times n$ の実対称半正定値行列とし、 $A=MM^{\mathsf{T}}$ （ $M$ は実行列）と書く。標準正規分布の $n$ 重直積 $\gamma_n$ の $y\mapsto My$ による像測度 $N(0,A)$ は、特性関数 $\int e^{ix\cdot\xi}\,dN(0,A)(\xi)=e^{-\langle x,Ax\rangle/2}$ をもち、 $M$ の選び方によらない。 $\xi\sim N(0,A)$ なら $\int\xi_j\xi_k\,dN(0,A)=A_{jk}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 120 件、定義なども含めて 140 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
    連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
    連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 10 件

Minlos の定理（𝒮′ の場合）✓定理 5.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
𝒮′ 上の Gauss 測度✓定理 6.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
有限次元の Gauss 期待値の共分散についての微分✓補題 4.8・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
正型関数の基本性質✓補題 2.3・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
正型関数の Gauss 平均は共分散について減少✓補題 9.1・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
共分散のゲージ項は効かない✓補題 9.3・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
Gauss 測度の複素指数モーメント✓補題 10.3・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
ゲージ自由度の付加と共分散（原論文 (5.7)、(5.9)）✓補題 3.4・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部
Gauss 測度の共分散についての微分✓補題 3.8・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部
複製変数による正値性（原論文 (6.19)–(6.23) の骨格）✓補題 6.4・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部

有限次元の Gauss 測度

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 10 件