数学 › フーリエ解析と超関数 › 核型空間と Bochner–Minlos の定理

𝒮′ 上の Gauss 測度

定理 6.1（「核型空間と Bochner–Minlos の定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$B:\mathcal{S}_{\mathbb{R}}\times\mathcal{S}_{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}$ を対称な双線形形式で、 $B(f,f)\ge0$ かつ $f\mapsto B(f,f)$ が連続であるとする。このとき $\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ 上の確率測度 $\mu_B$ がただ一つ存在して $\int e^{iT(f)}d\mu_B(T)=e^{-B(f,f)/2}$ となる。 $\mu_B$ のもとで、 $(T(f_1),\ldots,T(f_k))$ は共分散行列 $(B(f_i,f_j))_{i,j}$ の Gauss 分布 $N(0,(B(f_i,f_j)))$ に従い、とくに $\int T(f)T(g)\,d\mu_B=B(f,g)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 169 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限次元の Gauss 測度✓命題 2.5・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
Minlos の定理（𝒮′ の場合）✓定理 5.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 𝒮 は核型✓定理 3.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
- 緩増加超関数の数列表示✓系 5.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
- Bochner の定理✓定理 2.4・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 正定値関数の基本性質✓命題 2.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
  - コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
  - 完備化の存在と一意性✓定理 3.2・距離空間
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群この先をたどる →
  - 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算
    有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - 結合スペクトル測度と同時対角化✓定理 7.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
- 数列空間上の測度の拡張✓補題 4.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - Kolmogorov の拡張定理✓定理 4.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
  - 有限次元分布と整合性定義 2.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 正定値関数の基本性質✓命題 2.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 有限次元の Gauss 測度✓命題 2.5・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
- 𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 𝒮 は Fréchet 空間✓命題 3.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）

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ホワイトノイズは関数ではない✓命題 6.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理

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