数学 › フーリエ解析と超関数 › 核型空間と Bochner–Minlos の定理

ホワイトノイズは関数ではない

命題 6.3（「核型空間と Bochner–Minlos の定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mu$ を $\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)$ 上のホワイトノイズ測度とすると、 $\mu(L^2)=0$ 。ここで $L^2$ は、 $T=T_u$ （ $u\in L^2$ ）と書ける $T$ の集合とする。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 176 件、定義なども含めて 202 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

緩増加超関数の数列表示✓系 5.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
    連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 𝒮 は Fréchet 空間✓命題 3.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    項別積分（極限と積分の交換）✓定理 5.2・関数列と一様収束この先をたどる →
𝒮′ 上の Gauss 測度✓定理 6.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
- 有限次元の Gauss 測度✓命題 2.5・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
- Minlos の定理（𝒮′ の場合）✓定理 5.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 𝒮 は核型✓定理 3.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
    𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - 緩増加超関数の数列表示✓系 5.3・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - Bochner の定理✓定理 2.4・核型空間と Bochner–Minlos の定理この先をたどる →
  - 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
  - 数列空間上の測度の拡張✓補題 4.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理この先をたどる →
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 正定値関数の基本性質✓命題 2.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 有限次元の Gauss 測度✓命題 2.5・核型空間と Bochner–Minlos の定理（上で展開済み）
  - 𝒮 の Hermite 表示（N 表示）✓定理 5.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 特性関数による一意性✓補題 2.3・核型空間と Bochner–Minlos の定理
  - 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
- 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ホワイトノイズは関数ではない

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）