数学 › 解析学（実解析） › 関数列と一様収束

項別積分（極限と積分の交換）

定理 5.2（「関数列と一様収束」§5） ・ ✓公理まで証明済み

a<ba < b とし、fn ⁣:[a,b]→Rf_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}（n∈Nn \in \mathbb{N}）はすべて [a,b][a,b] 上リーマン可積分とする。(fn)(f_n) が [a,b][a,b] 上 f ⁣:[a,b]→Rf \colon [a,b] \to \mathbb{R} に一様収束するならば、ff も [a,b][a,b] 上リーマン可積分であり、

∣∫abfn(x) dx−∫abf(x) dx∣≤(b−a) ∥fn−f∥[a,b]\left| \int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right| \le (b-a)\,\|f_n - f\|_{[a,b]}

が（右辺が有限であるすべての nn について）成り立つ。特に

lim⁡n→∞∫abfn(x) dx=∫abf(x) dx\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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