内積の分散は次元に比例する

命題 4.4（「自己注意」§4）・ ✓公理まで証明済み

$q_1, \ldots, q_{d_k}, k_1, \ldots, k_{d_k}$ を独立な確率変数とし、どれも平均 0・分散 1 とする。 $\boldsymbol{q} = (q_1, \ldots, q_{d_k})$ 、 $\boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_{d_k})$ について

E[\langle \boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}\rangle] = 0, \qquad \mathrm{Var}\big(\langle \boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}\rangle\big) = d_k, \qquad \mathrm{Var}\!\left(\frac{\langle \boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}\rangle}{\sqrt{d_k}}\right) = 1

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
- 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
- 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
  - 単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
  - 標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
    確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
- 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
- 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
独立な可積分確率変数の積の期待値（m 個）✓補題 10.5・自己注意
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 確率変数の演算に関する閉性✓命題 3.4・確率変数と期待値
  - 半直線による判定✓系 3.3・確率変数と期待値
    確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
    生成系による可測性の判定✓命題 3.2・確率変数と期待値この先をたどる →
- ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

内積の分散は次元に比例する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）