多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け：共変分・積の公式・Brown 運動の判定法

0. この記事の要点

複数の株価や、3 次元空間を揺れ動く粒子のように、ランダムな揺れが同時にいくつも働く状況を考えます。このとき「二つの量の積は、微小時間にどれだけ変化するか」「ある過程が、ランダムな歩みの基本形である Brown 運動かどうかを、分布を計算せずに見分けられるか」という素朴な疑問が出ます。この記事は、前者に答える多次元の伊藤公式と積の公式、後者に答える Lévy の判定条件を、証明つきで示します。読み終えると、複数成分の確率過程の微小変化を計算でき、与えられた過程が Brown 運動であることを確かめられるようになります。

• $d$ 次元 Brown 運動 $W=(W^1,\dots,W^d)$ の成分は互いに独立なので、異なる成分による伊藤積分は直交します。これを条件付きの形で述べたのが共分散等長性 $\mathbb{E}[\xi\int H\,dW^a\int K\,dW^b]=\delta_{ab}\mathbb{E}[\xi\int HK\,du]$ で、多次元の計算規則 $dW^a\,dW^b=\delta_{ab}\,dt$ の正体です。
• 伊藤過程 $dX^i=\mu^i\,dt+\sum_a\sigma^{ia}\,dW^a$ の共変分を $\langle X^i,X^j\rangle_t=\int_0^t(\sigma\sigma^{\mathsf T})^{ij}\,du$ と定めると、増分の積の和 $\sum_k\Delta X^i_k\Delta X^j_k$ はこれに $L^1$ で収束します。証明の要は伊藤積分の 4 次モーメント評価です。
• 多次元伊藤公式は、2 次の項 $\frac12\sum_{i,j}\partial_{ij}f\,d\langle X^i,X^j\rangle$ を持つ連鎖律です。特に $f(x,y)=xy$ から積の公式 $d(XY)=X\,dY+Y\,dX+d\langle X,Y\rangle$ が出ます。
• Lévy の特徴付け: 連続なマルチンゲール $M$ で $M^iM^j-\delta_{ij}t$ もマルチンゲールなら、$M$ は Brown 運動です。証明は $e^{i\lambda x}$ の 3 次までの Taylor 展開と停止による有界化だけで済みます。
• 応用として、$\int_0^t\operatorname{sgn}(W_u)\,dW_u$ や直交行列値の過程による回転 $\int O\,dW$ が再び Brown 運動であることがすぐに分かります。

この記事で使う事前知識

• Brown 運動: 増分が過去と独立で、時間幅 $t-s$ に応じた分散の正規分布に従う、連続な道を持つ過程。→ ブラウン運動
• マルチンゲール: 現在までの情報のもとでの将来の期待値が、現在の値に等しい過程。→ マルチンゲール
• 条件付き期待値: ある情報が分かっているという前提のもとでの期待値。→ 条件付き期待値
• 停止時刻: 「時刻 $r$ までに起きたか」が時刻 $r$ までの情報で判定できる、ランダムな時刻。→ 停止時刻
• 特性関数: 確率変数 $Y$ に対する $\mathbb{E}[e^{iu\cdot Y}]$ のこと。分布を決めます。→ 特性関数
• 確率収束: どんな $\varepsilon>0$ についても、極限との差が $\varepsilon$ を超える確率が $0$ に近づくこと。→ 確率収束

1. 動機

確率微分方程式の章 では、1 本の Brown 運動 $B$ に関する伊藤積分と伊藤の公式を扱いました。しかし応用で現れる確率過程の多くは多次元です。$\mathbb{R}^3$ の中を拡散する粒子、複数の株価、場の理論で多数のモードを同時に動かす確率量子化など、いずれも複数の独立な雑音で駆動されます。

多次元に移ると、新しい問いが二つ生じます。第一に、二つの成分の積 $X^1X^2$ はどう微分されるのか。1 次元の公式 $(dB)^2=dt$ の多次元版は $dW^a\,dW^b=\delta_{ab}\,dt$ ですが、これは「異なる成分の増分の積の和は $0$ に収束する」という主張で、証明が要ります。第二に、ある連続マルチンゲールが Brown 運動であることを、分布を直接計算せずに判定できないか。Lévy の特徴付けはこれに「2 次変分が $t$ なら Brown 運動」と答えます。その証明で使う「条件付き特性関数による独立性と分布の判定」は、次章の Girsanov の定理 の証明でもそのまま使います。また Lévy の特徴付けは、確率積分による時間変更の議論の土台になります。

この章では、確率微分方程式の章で構成した伊藤積分（定理 4.7［確率微分方程式］）だけを道具にして、これらを証明します。一般の連続セミマルチンゲールの理論（Doob–Meyer 分解など）には立ち入らず、係数が有界な伊藤過程に話を絞ります。この範囲で、Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理に必要なものはすべてそろいます。

2. 準備

時間区間を $[0,T]$（$T<\infty$）とし、確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ とフィルトレーション $(\mathcal{F}_t)$ を固定します。発展的可測性などの用語は 定義 2.1［確率微分方程式］ に従います。フィルトレーションとは時刻ごとに増えていく「その時点までに分かっている情報」の列で、発展的可測とは、各時刻 $r$ について、$r$ までの時間と $r$ までの情報だけで過程の値が決まる、という可測性のことです。

定義 2.1（d 次元 $(F_t)$-Brown 運動）↗

$\mathbb{R}^d$ 値の過程 $W=(W^1,\dots,W^d)$ が $(\mathcal{F}_t)$-Brown 運動であるとは、(1) $W_0=0$ ですべての道が連続、(2) $W$ は $(\mathcal{F}_t)$ に適合、(3) $s<t$ のとき増分 $W_t-W_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で、平均 $0$、共分散行列 $(t-s)I_d$ の Gauss 分布 $N(0,(t-s)I_d)$ に従う、の三条件を満たすことをいいます。

共分散行列が対角なので、増分の成分 $W^1_t-W^1_s,\dots,W^d_t-W^d_s$ は互いに独立です（命題 5.3［特性関数と Gauss ベクトル］）。特に各成分 $W^a$ は 1 次元の $(\mathcal{F}_t)$-Brown 運動で、確率微分方程式の章の伊藤積分 $\int H\,dW^a$ がそのまま使えます。$\int_s^tH\,dW^a$ は $\int_0^tH\,dW^a-\int_0^sH\,dW^a$ の意味です。

定義 2.2（多次元伊藤過程と有界係数の条件）↗

$\mathcal{L}^2[0,T]$ を 定義 4.1［確率微分方程式］ の空間とします。$\mathbb{R}^d$ 値の過程 $H=(H^1,\dots,H^d)$ で各成分が $\mathcal{L}^2[0,T]$ に属するもの全体を $\mathcal{L}^2_d$ と書き、

$$\int_0^t H_u\cdot dW_u:=\sum_{a=1}^d\int_0^t H^a_u\,dW^a_u$$

とおきます。$\mathbb{R}^n$ 値の過程 $X$ が

$$X^i_t=X^i_0+\int_0^t\mu^i_u\,du+\sum_{a=1}^d\int_0^t\sigma^{ia}_u\,dW^a_u\qquad(i=1,\dots,n)$$

と書けるとき（$X_0$ は $\mathcal{F}_0$-可測、$\mu=(\mu^i)$ と $\sigma=(\sigma^{ia})$ は発展的可測で $\sigma^{ia}\in\mathcal{L}^2[0,T]$、$\int_0^T|\mu_u|\,du<\infty$）、$X$ を $n$ 次元の伊藤過程と呼びます。$\sigma$ の第 $i$ 行を $\sigma^i=(\sigma^{i1},\dots,\sigma^{id})$ と書きます。さらに定数 $K$ があって、すべての $(u,\omega)$ と $i,a$ について $|\mu^i_u|\le K$、$|\sigma^{ia}_u|\le K$ となるとき、$X$ は有界係数の条件 (A) を満たすといいます。

確率積分は連続なバージョンを取ります（定理 4.7［確率微分方程式］）。以下で繰り返し使う二つの補題を先に示します。

補題 2.3（有界な単純過程による近似）✓

$H$ を $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で、定数 $L$ について $|H_u(\omega)|\le L$（Euclid ノルム）とします。このとき、$[0,T]$ の等分割の上の単純過程（各成分が 定義 4.1［確率微分方程式］ の意味で単純）$H^{(n)}$ で、$|H^{(n)}|\le L$ かつ $\mathbb{E}\int_0^T|H^{(n)}_u-H_u|^2\,du\to0$ となるものが存在します。

証明（補題 2.3）

補題 4.4［確率微分方程式］ の証明の第 2 段階と第 3 段階を、成分ごとに同じ分割で行えば得られます。確かめるべきは上界 $L$ が保たれることだけです。第 2 段階の平均化 $H^{(m)}_t=m\int_{t-1/m}^tH_s\,ds$ では、ベクトル値積分のノルムが被積分関数のノルムの積分以下であることから $|H^{(m)}_t|\le m\int_{t-1/m}^t|H_s|\,ds\le L$ です。第 3 段階の左端離散化は $H$ の値をそのまま使うので上界を変えません。第 1 段階（切り落とし）は $H$ がもともと有界なので不要です。各段階の収束は同補題の証明と同じく優収束定理によります。

∎

補題 2.4（確率積分からの既知量の取り出し）✓

$H\in\mathcal{L}^2[0,T]$、$0\le s<t\le T$、$\xi$ を有界な $\mathcal{F}_s$-可測確率変数とします。このとき $\xi H\mathbf{1}_{(s,t]}\in\mathcal{L}^2[0,T]$ で、各 $a$ について

$$\int_s^t\xi H_u\,dW^a_u=\xi\int_s^tH_u\,dW^a_u\quad\text{a.s.}$$

証明（補題 2.4）

過程 $(u,\omega)\mapsto\xi(\omega)\mathbf{1}_{(s,t]}(u)$ は、$r\le s$ なら $[0,r]$ 上で $0$、$r>s$ なら $\mathcal{B}([0,r])\otimes\mathcal{F}_s$-可測なので発展的可測です。発展的可測な過程の積は発展的可測で、$|\xi H\mathbf{1}_{(s,t]}|\le\|\xi\|_\infty|H|$ なので $\xi H\mathbf{1}_{(s,t]}\in\mathcal{L}^2[0,T]$ です。

$H$ が単純過程で、その分割点に $s,t$ が含まれる場合（分割を細かくしても単純過程のままなので一般性を失いません）、$H\mathbf{1}_{(s,t]}=\sum_{t_i\ge s}\xi_i\mathbf{1}_{(t_i,t_{i+1}]}$（和は $t_{i+1}\le t$ の範囲）で、$\xi\xi_i$ は $t_i\ge s$ より $\mathcal{F}_{t_i}$-可測かつ二乗可積分です。よって 定義 4.2［確率微分方程式］ から両辺はともに $\sum\xi\xi_i(W^a_{t_{i+1}}-W^a_{t_i})$ です。一般の $H$ は 補題 4.4［確率微分方程式］ の単純過程 $H^{(n)}\to H$ で近似します。$\|\xi H^{(n)}\mathbf{1}_{(s,t]}-\xi H\mathbf{1}_{(s,t]}\|_{\mathcal{L}^2}\le\|\xi\|_\infty\|H^{(n)}-H\|_{\mathcal{L}^2}\to0$ なので、伊藤等長性（定理 4.7［確率微分方程式］）により左辺も右辺も $L^2(\Omega)$ で収束し、極限でも等式が成り立ちます。

∎

3. 共分散等長性と共変分

3.1. 異なる成分による積分の直交性

この節のねらいは、異なる成分の Brown 運動による積分どうしの積の期待値が $0$ になることを示し、多次元の計算規則 $dW^a\,dW^b=\delta_{ab}\,dt$ の中身をはっきりさせることです。証明は、単純過程（区間ごとに値が一定の過程）で確かめてから一般の場合へ近づける、という伊藤積分の定義と同じ流れで進みます。途中の「偏極」は、$xy=\frac14\bigl((x+y)^2-(x-y)^2\bigr)$ という恒等式を使って、2 乗についての等長性の式から積についての式を取り出す手順です。

補題 3.1（条件付き共分散等長性）✓

$H,K\in\mathcal{L}^2[0,T]$、$a,b\in\{1,\dots,d\}$、$0\le s<t\le T$、$\xi$ を有界な $\mathcal{F}_s$-可測確率変数とします。このとき

$$\mathbb{E}\left[\xi\int_s^tH_u\,dW^a_u\int_s^tK_u\,dW^b_u\right]=\delta_{ab}\,\mathbb{E}\left[\xi\int_s^tH_uK_u\,du\right].$$

特に $H,G\in\mathcal{L}^2_d$ について $\mathbb{E}[\int_0^TH\cdot dW\int_0^TG\cdot dW]=\mathbb{E}\int_0^TH_u\cdot G_u\,du$ です。

証明（補題 3.1）

補題 2.4 により $\xi\int_s^tH\,dW^a=\int_s^t\xi H\,dW^a$ なので、$\xi=1$ の場合に、$H$ を $\xi H$ に置き換えて示せば十分です。また $H,K$ を $H\mathbf{1}_{(s,t]},K\mathbf{1}_{(s,t]}$ に置き換えます。

$a=b$ のときは、伊藤等長性（定理 4.7［確率微分方程式］）を $H+K$ と $H-K$ に適用して差を取る（偏極）と $\mathbb{E}[I(H)I(K)]=\mathbb{E}\int HK\,du$ が出ます。

$a\ne b$ のときを示します。まず $H,K$ が共通の分割 $s=u_0<\dots<u_m=t$ 上の単純過程 $H=\sum_l\xi_l\mathbf{1}_{(u_l,u_{l+1}]}$、$K=\sum_l\eta_l\mathbf{1}_{(u_l,u_{l+1}]}$ の場合です。$\Delta_lW^a=W^a_{u_{l+1}}-W^a_{u_l}$ と書くと、示すべきは $\mathbb{E}[\sum_{l,m}\xi_l\Delta_lW^a\,\eta_m\Delta_mW^b]=0$ です。$l<m$ の項では $\xi_l\Delta_lW^a\eta_m$ が $\mathcal{F}_{u_m}$-可測で可積分、$\Delta_mW^b$ は $\mathcal{F}_{u_m}$ と独立で平均 $0$ なので、定理 4.4［条件付き期待値］ と 命題 4.5［条件付き期待値］ から期待値は $\mathbb{E}[\xi_l\Delta_lW^a\eta_m\,\mathbb{E}[\Delta_mW^b]]=0$ です。$l>m$ も同様です。$l=m$ の項では、$(\Delta_lW^a,\Delta_lW^b)$ が $\mathcal{F}_{u_l}$ と独立で、成分どうしも独立で平均 $0$ なので、$\mathbb{E}[\xi_l\eta_l\Delta_lW^a\Delta_lW^b]=\mathbb{E}[\xi_l\eta_l]\,\mathbb{E}[\Delta_lW^a]\,\mathbb{E}[\Delta_lW^b]=0$ です（命題 7.5［確率変数と期待値］）。

一般の $H,K$ は単純過程 $H^{(n)}\to H$、$K^{(n)}\to K$ で近似します（補題 4.4［確率微分方程式］。分割は両者の和集合に細分して共通にできます）。Cauchy–Schwarz の不等式と等長性から

$$\bigl|\mathbb{E}[I^a(H)I^b(K)]-\mathbb{E}[I^a(H^{(n)})I^b(K^{(n)})]\bigr|\le\|H-H^{(n)}\|_{\mathcal{L}^2}\|K\|_{\mathcal{L}^2}+\|H^{(n)}\|_{\mathcal{L}^2}\|K-K^{(n)}\|_{\mathcal{L}^2}\to0$$

（$I^a(H)=\int H\,dW^a$）なので、$0$ という値が極限に受け継がれます。最後の主張は、成分ごとの式を $a,b$ について足し合わせたものです。

∎

この補題を形式的に書けば $dW^a_u\,dW^b_u=\delta_{ab}\,du$ です。条件付きの形（$\xi$ が入っている形）で述べたのは、次の命題と 2 次変分の収束で、マルチンゲール差の直交性として使うためです。

命題 3.2（確率積分の積から作られるマルチンゲール）✓

$G,H\in\mathcal{L}^2_d$ とし、$M_t=\int_0^tG\cdot dW$、$N_t=\int_0^tH\cdot dW$ とおきます。このとき

$$M_tN_t-\int_0^tG_u\cdot H_u\,du\qquad(t\in[0,T])$$

は $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールです。

証明（命題 3.2）

$M_t,N_t\in L^2(\Omega)$ なので積は可積分で、$\int_0^T|G\cdot H|\,du$ も Cauchy–Schwarz の不等式から可積分です。$s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$ とし、$\Delta M=M_t-M_s$、$\Delta N=N_t-N_s$ と書くと

$$M_tN_t-M_sN_s=\Delta M\,\Delta N+M_s\,\Delta N+N_s\,\Delta M.$$

$\Delta N$ は 定理 4.7［確率微分方程式］ のマルチンゲール性から $\mathbb{E}[\Delta N\mid\mathcal{F}_s]=0$ を満たし、$\mathbf{1}_AM_s$ は二乗可積分で $\mathcal{F}_s$-可測なので、定理 4.4［条件付き期待値］ により $\mathbb{E}[\mathbf{1}_AM_s\Delta N]=0$ です。第 3 項も同じです。第 1 項は $\Delta M\,\Delta N=\sum_{a,b}\int_s^tG^a\,dW^a\int_s^tH^b\,dW^b$ と展開し、補題 3.1（$\xi=\mathbf{1}_A$）を使うと $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\Delta M\Delta N]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\int_s^tG\cdot H\,du]$ です。合わせて $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A(M_tN_t-\int_0^tG\cdot H)]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A(M_sN_s-\int_0^sG\cdot H)]$ を得ます。

∎

この命題が、次の定義を正当化します。

定義 3.3（伊藤過程の共変分）↗

定義 2.2 の伊藤過程 $X$ について

$$\langle X^i,X^j\rangle_t:=\int_0^t\sigma^i_u\cdot\sigma^j_u\,du=\int_0^t(\sigma_u\sigma_u^{\mathsf T})^{ij}\,du$$

を $X^i$ と $X^j$ の共変分、$\langle X^i\rangle:=\langle X^i,X^i\rangle$ を $X^i$ の 2 次変分と呼びます。ドリフト $\mu$ は共変分に寄与しません。

命題 3.2 により、$X$ のマルチンゲール部分 $M^i=\int\sigma^i\cdot dW$ について $M^iM^j-\langle X^i,X^j\rangle$ はマルチンゲールです。たとえば $\langle W^a,W^b\rangle_t=\delta_{ab}t$ です。

注意 3.4

一般の連続局所マルチンゲール $M,N$ に対しても、$MN-A$ が局所マルチンゲールとなる連続な有界変動過程 $A$（$A_0=0$）がただ一つ存在し、これを $\langle M,N\rangle$ と書きます。存在の証明には Doob–Meyer 分解か、離散 2 次変分の一様収束の議論が要ります（Karatzas–Shreve 第 1.5 節・第 3.2 節、Revuz–Yor 第 IV 章）。この章では伊藤過程に限るので、上の定義で足ります。

3.2. 4 次モーメントの評価

2 次変分の収束を示すには、増分の 2 乗の揺らぎを抑える必要があり、そのために 4 次モーメントの評価を使います。

次の補題の証明は二段構えです。まず単純過程について、各区間の寄与 $Y_l$ が、それまでの情報を固定すると正規分布に従うことを使い、部分和 $S_l$ の 4 乗の期待値を区間ごとに足し上げます。そのうえで、一般の場合を単純過程の極限として得ます。

補題 3.5（伊藤積分の 4 次モーメント）✓

$H$ を $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で $|H_u|\le L$ とし、$0\le s<t\le T$ とします。このとき

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_s^tH_u\cdot dW_u\right)^4\right]\le6L^4(t-s)^2.$$

証明（補題 3.5）

単純過程の場合。 $H=\sum_{l}\xi_l\mathbf{1}_{(u_l,u_{l+1}]}$（$s=u_0<\dots<u_m=t$、$\xi_l$ は $\mathcal{F}_{u_l}$-可測で $|\xi_l|\le L$）とし、$Y_l=\xi_l\cdot(W_{u_{l+1}}-W_{u_l})$、$S_l=\sum_{k<l}Y_k$、$h_l=u_{l+1}-u_l$ とおきます。$W_{u_{l+1}}-W_{u_l}$ は $\mathcal{F}_{u_l}$ と独立に $N(0,h_lI_d)$ に従うので、補題 2.1［Feller 過程と Feynman–Kac］（関数の正部分と負部分に分けて適用）により、$\mathcal{F}_{u_l}$ に関する条件付きで $Y_l$ は $N(0,|\xi_l|^2h_l)$ に従います。したがって

$$\mathbb{E}[Y_l\mid\mathcal{F}_{u_l}]=\mathbb{E}[Y_l^3\mid\mathcal{F}_{u_l}]=0,\quad\mathbb{E}[Y_l^2\mid\mathcal{F}_{u_l}]=|\xi_l|^2h_l,\quad\mathbb{E}[Y_l^4\mid\mathcal{F}_{u_l}]=3|\xi_l|^4h_l^2 .$$

$|S_l|\le L\sum_{k<l}|W_{u_{k+1}}-W_{u_k}|$ はすべての次数のモーメントを持つので、$(S_l+Y_l)^4$ を展開して 定理 4.4［条件付き期待値］ を使うと、奇数次の項が消えて

$$\mathbb{E}[S_{l+1}^4]=\mathbb{E}[S_l^4]+6\,\mathbb{E}[S_l^2|\xi_l|^2]\,h_l+3\,\mathbb{E}[|\xi_l|^4]\,h_l^2\le\mathbb{E}[S_l^4]+6L^2\,\mathbb{E}[S_l^2]\,h_l+3L^4h_l^2 .$$

同様に $\mathbb{E}[S_l^2]=\sum_{k<l}\mathbb{E}[|\xi_k|^2]h_k\le L^2(u_l-s)$ です。これを $l=0,\dots,m-1$ について足すと、$\sum_l(u_l-s)h_l\le\int_s^t(u-s)\,du=(t-s)^2/2$ と $\sum_lh_l^2\le(t-s)^2$ から

$$\mathbb{E}[S_m^4]\le6L^4\cdot\frac{(t-s)^2}{2}+3L^4(t-s)^2=6L^4(t-s)^2 .$$

一般の場合。 補題 2.3 により $|H^{(n)}|\le L$ なる単純過程で $\mathbb{E}\int|H^{(n)}-H|^2\to0$ となるものを取ります（分割に $s,t$ を加えます）。補題 3.1 から $\int_s^tH^{(n)}\cdot dW\to\int_s^tH\cdot dW$ が $L^2(\Omega)$ で成り立つので、ほとんど確実に収束する部分列が取れます。実際、$Y_n=\int_s^tH^{(n)}\cdot dW$、$Y=\int_s^tH\cdot dW$ として $\mathbb{E}|Y_{n_k}-Y|^2\le 8^{-k}$ となる $n_1<n_2<\cdots$ を選ぶと、マルコフの不等式（命題 3.5［大数の法則と中心極限定理］）を $|Y_{n_k}-Y|^2$ と $a=4^{-k}$ に使って $\mathbb{P}(|Y_{n_k}-Y|\ge2^{-k})\le4^k\cdot8^{-k}=2^{-k}$ で、これは $k$ について和が有限です。ボレル・カンテリの補題（補題 4.4［大数の法則と中心極限定理］）から、ほとんど確実に有限個の $k$ を除いて $|Y_{n_k}-Y|<2^{-k}$ となり、$Y_{n_k}\to Y$ a.s. です。補題 6.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］ により、極限でも同じ上界が成り立ちます。

∎

上界が $(t-s)^2$ の定数倍であることが重要です。積分の 2 乗は $t-s$ の大きさなので、4 次モーメントはその 2 乗の大きさに収まり、増分の 2 乗の揺らぎは平均に比べて小さいことになります。

4. 2 次変分と共変分の収束

定義 3.3 の共変分が、増分の積の和の極限として実際に現れることを示します。これが 1 次元の 定理 3.1［確率微分方程式］ の多次元・伊藤過程版で、伊藤公式の 2 次の項の出どころです。

次の定理の証明では、増分 $\Delta X_k^i\Delta X_k^j$ の和を、増分をドリフト部分とマルチンゲール部分に分けて展開し、ドリフトを含む項、マルチンゲール部分の項、Riemann 和の項に整理して、それぞれ $0$ または目的の積分に収束することを見ます。ドリフトを含む項は、ドリフトの寄与が時間幅に比例して小さいため、分割を細かくすれば $0$ に近づきます。マルチンゲール部分の項は、各区間の誤差 $Z_k$ が互いに直交するので 2 乗の和が小さくなります。残る Riemann 和の項は、連続な被積分関数の積分への通常の収束です。

定理 4.1（共変分の離散近似）✓

$X$ を有界係数の条件 (A)（定数 $K$）を満たす $n$ 次元伊藤過程、$G$ を適合した実数値過程で、道が連続かつ $|G|\le C$ なるものとします。$t\in(0,T]$、$\Pi=\{0=t_0<\dots<t_m=t\}$ を分割、$\Delta X^i_k=X^i_{t_{k+1}}-X^i_{t_k}$ とおくと

$$\mathbb{E}\left|\sum_{k}G_{t_k}\,\Delta X^i_k\,\Delta X^j_k-\int_0^tG_u\,d\langle X^i,X^j\rangle_u\right|\longrightarrow0\qquad(\|\Pi\|\to0).$$

ここで $\int_0^tG_u\,d\langle X^i,X^j\rangle_u=\int_0^tG_u\,\sigma^i_u\cdot\sigma^j_u\,du$ です。

証明（定理 4.1）

$h_k=t_{k+1}-t_k$ とし、増分をドリフト部分とマルチンゲール部分に分けます。

$$\Delta X^i_k=A^i_k+N^i_k,\qquad A^i_k=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\mu^i_u\,du,\qquad N^i_k=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\sigma^i_u\cdot dW_u .$$

$|A^i_k|\le Kh_k$ で、補題 3.1 と $|\sigma^i|^2\le dK^2$ から $\mathbb{E}[(N^i_k)^2]\le dK^2h_k$ です。

ドリフトを含む項。 $\sum_k|G_{t_k}A^i_kA^j_k|\le CK^2\|\Pi\|t$ です。また Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\mathbb{E}\sum_k|G_{t_k}A^i_kN^j_k|\le CK\sum_kh_k\bigl(\mathbb{E}[(N^j_k)^2]\bigr)^{1/2}\le C\sqrt d\,K^2\sum_kh_k^{3/2}\le C\sqrt d\,K^2\|\Pi\|^{1/2}t,$$

$A^jN^i$ の項も同じです。いずれも $0$ に収束します。

マルチンゲール部分の項。 $C_k=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\sigma^i\cdot\sigma^j\,du$、$Z_k=G_{t_k}(N^i_kN^j_k-C_k)$ とおきます。$|C_k|\le dK^2h_k$ で、補題 3.5（$L=\sqrt dK$）と Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\mathbb{E}[Z_k^2]\le2C^2\Bigl(\mathbb{E}[(N^i_k)^4]^{1/2}\,\mathbb{E}[(N^j_k)^4]^{1/2}+d^2K^4h_k^2\Bigr)\le14\,C^2d^2K^4h_k^2 .$$

次に、$\xi$ を有界な $\mathcal{F}_{t_k}$-可測確率変数とすると、$N^i_kN^j_k=\sum_{a,b}\int\sigma^{ia}\,dW^a\int\sigma^{jb}\,dW^b$ に 補題 3.1 を $\xi G_{t_k}$ について適用して $\mathbb{E}[\xi Z_k]=0$ を得ます。$\xi$ として $\mathcal{F}_{t_k}$ の事象の指示関数を取れば $\mathbb{E}[Z_k\mid\mathcal{F}_{t_k}]=0$ です。$k<l$ なら $Z_k$ は $\mathcal{F}_{t_l}$-可測で二乗可積分なので、定理 4.4［条件付き期待値］ により $\mathbb{E}[Z_kZ_l]=\mathbb{E}[Z_k\,\mathbb{E}[Z_l\mid\mathcal{F}_{t_l}]]=0$ です。よって交差項が消え、

$$\mathbb{E}\Bigl[\Bigl(\sum_kZ_k\Bigr)^2\Bigr]=\sum_k\mathbb{E}[Z_k^2]\le14\,C^2d^2K^4\|\Pi\|t\longrightarrow0 .$$

Riemann 和の項。 残るのは $\sum_kG_{t_k}C_k=\int_0^tG^\Pi_u\,\sigma^i_u\cdot\sigma^j_u\,du$（$G^\Pi_u=G_{t_k}$, $u\in(t_k,t_{k+1}]$）と $\int_0^tG_u\,\sigma^i\cdot\sigma^j\,du$ の差です。道の連続性から $G^\Pi_u\to G_u$ が各 $(u,\omega)$ で成り立ち、被積分関数は $2CdK^2$ で抑えられるので、定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］（$du\otimes d\mathbb{P}$ について）から差の期待値は $0$ に収束します。

以上の 4 種類の項を合わせると主張が出ます（$L^2$ 収束は $L^1$ 収束を導きます）。

∎

$G=1$、$X=W$ とすれば $\sum_k\Delta W^a_k\Delta W^b_k\to\delta_{ab}t$ で、異なる成分の増分の積の和が $0$ に収束することが分かります。符号がランダムな小さい量 $\Delta W^a_k\Delta W^b_k$（大きさ $h_k$）が $1/h_k$ 個足されても、互いに打ち消し合って和は $\sqrt{\|\Pi\|}$ 程度にしかならない、というのが証明の中身です。

5. 多次元伊藤公式

通常の微積分の連鎖律では $f$ の 1 次の項だけが残りますが、確率過程では増分の 2 乗が時間幅と同じ大きさ（$\sqrt{h}$ の 2 乗）になるため、2 次の項も残ります。次の定理の証明は、時間を細かく刻んで $f$ の変化を足し合わせ（望遠鏡和）、各区間で 2 次まで Taylor 展開します。1 次の項は確率積分とドリフトの積分に、2 次の項は前節の定理により共変分の積分に収束します。3 次以上の項（剰余）は、増分の 3 乗が $h^{3/2}$ の大きさなので、足し合わせても $0$ に近づきます。

定理 5.1（多次元伊藤公式）✓

$X$ を有界係数の条件 (A) を満たす $n$ 次元伊藤過程とし、$f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R}^n)$（$t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能）で、$x$ についての 1 階・2 階の偏導関数 $\partial_if$、$\partial_{ij}f$ が有界であるとします。このとき、ほとんど確実にすべての $t\in[0,T]$ について

$$\begin{aligned} f(t,X_t)=f(0,X_0)&+\int_0^t\partial_tf(u,X_u)\,du+\sum_{i}\int_0^t\partial_if(u,X_u)\,\mu^i_u\,du\\ &+\sum_{i,a}\int_0^t\partial_if(u,X_u)\,\sigma^{ia}_u\,dW^a_u+\frac12\sum_{i,j}\int_0^t\partial_{ij}f(u,X_u)\,d\langle X^i,X^j\rangle_u \end{aligned}$$

が成り立ちます。微分形式では $df=\partial_tf\,dt+\sum_i\partial_if\,dX^i+\frac12\sum_{i,j}\partial_{ij}f\,d\langle X^i,X^j\rangle$ です。

証明（定理 5.1）

被積分関数 $\partial_if(u,X_u)\sigma^{ia}_u$ は有界で、連続な適合過程と発展的可測過程の積なので発展的可測です。よって右辺の確率積分は定義されます。両辺は $t$ について連続なので、$t$ を固定して等式がほとんど確実に成り立つことを示せば、有理数の $t$ で同時に成り立ち、連続性からすべての $t$ に及びます。

$t$ を固定し、分割 $\Pi=\{0=t_0<\dots<t_m=t\}$ を取ります。$X_k=X_{t_k}$、$\Delta X_k=X_{k+1}-X_k$、$h_k=t_{k+1}-t_k$ と書き、望遠鏡和を時間方向と空間方向に分けます。

$$f(t,X_t)-f(0,X_0)=\sum_k\bigl[f(t_{k+1},X_{k+1})-f(t_k,X_{k+1})\bigr]+\sum_k\bigl[f(t_k,X_{k+1})-f(t_k,X_k)\bigr].$$

以下、道 $\omega$ を固定したときの量 $R(\omega)=\sup_{u\le t}|X_u(\omega)|$ は有限で、$[0,T]\times\{|x|\le R+1\}$ はコンパクトなので $\partial_tf$ と $\partial_{ij}f$ はそこで一様連続です。

時間方向。 第 1 の和の各項は $\int_{t_k}^{t_{k+1}}\partial_tf(u,X_{k+1})\,du$ です。これと $\int_{t_k}^{t_{k+1}}\partial_tf(u,X_u)\,du$ の差の和は、$t\cdot\max_k\sup_{u\in[t_k,t_{k+1}]}|\partial_tf(u,X_{k+1})-\partial_tf(u,X_u)|$ 以下で、$\partial_tf$ の一様連続性と道の一様連続性から各 $\omega$ で $0$ に収束します。

空間方向の Taylor 展開。 積分形の剰余をもつ Taylor の定理から

$$f(t_k,X_{k+1})-f(t_k,X_k)=\sum_i\partial_if(t_k,X_k)\Delta X^i_k+\frac12\sum_{i,j}\partial_{ij}f(t_k,X_k)\Delta X^i_k\Delta X^j_k+\rho_k,$$$$|\rho_k|\le\frac12\,\varepsilon_\Pi\,|\Delta X_k|^2,\qquad\varepsilon_\Pi:=\max_k\sup_{0\le\theta\le1}\bigl\|\nabla^2f(t_k,X_k+\theta\Delta X_k)-\nabla^2f(t_k,X_k)\bigr\|$$

です（$\|\cdot\|$ は行列の作用素ノルム）。

1 次の項。 左端の値で作った過程 $Y^{\Pi,i}_u:=\partial_if(t_k,X_k)$（$u\in(t_k,t_{k+1}]$）を使うと、補題 2.4（$\xi=\partial_if(t_k,X_k)$）により

$$\sum_k\partial_if(t_k,X_k)\Delta X^i_k=\int_0^tY^{\Pi,i}_u\mu^i_u\,du+\sum_a\int_0^tY^{\Pi,i}_u\sigma^{ia}_u\,dW^a_u .$$

道の連続性から $Y^{\Pi,i}_u\to\partial_if(u,X_u)$ が各 $(u,\omega)$ で成り立ち、$|Y^{\Pi,i}|\le\sup|\partial_if|$ です。ドリフトの積分は優収束定理により各 $\omega$ で収束します。確率積分は、$\mathbb{E}\int_0^t|Y^{\Pi,i}_u-\partial_if(u,X_u)|^2(\sigma^{ia}_u)^2\,du\to0$（優収束定理）と伊藤等長性から $L^2(\Omega)$ で収束します。

2 次の項。 $G_u=\partial_{ij}f(u,X_u)$ は有界で道が連続な適合過程なので、定理 4.1 により $\sum_k\partial_{ij}f(t_k,X_k)\Delta X^i_k\Delta X^j_k\to\int_0^t\partial_{ij}f(u,X_u)\,d\langle X^i,X^j\rangle_u$ が $L^1$ で成り立ちます。

剰余項。 $S_\Pi:=\sum_k|\Delta X_k|^2=\sum_i\sum_k(\Delta X^i_k)^2$ は 定理 4.1（$G=1$）により $\sum_i\langle X^i\rangle_t$ に $L^1$ で収束するので、$\sup_\Pi\mathbb{E}[S_\Pi]<\infty$ です。一方 $\max_k|\Delta X_k|\to0$（道の一様連続性）と $\nabla^2f$ の一様連続性から $\varepsilon_\Pi\to0$ が各 $\omega$ で成り立ちます。任意の $\delta,\eta>0$ について、定理 6.1［確率変数と期待値］ から

$$\mathbb{P}\Bigl(\bigl|\textstyle\sum_k\rho_k\bigr|>\eta\Bigr)\le\mathbb{P}(\varepsilon_\Pi>\delta)+\mathbb{P}\bigl(S_\Pi>2\eta/\delta\bigr)\le\mathbb{P}(\varepsilon_\Pi>\delta)+\frac{\delta\,\mathbb{E}[S_\Pi]}{2\eta}$$

で、$\|\Pi\|\to0$ の後に $\delta\to0$ とすれば右辺は $0$ に収束します。

以上より右辺の各項は $\|\Pi\|\to0$ で確率収束し、その極限の和が公式の右辺です。左辺は $\Pi$ によらないので、確率収束の極限の一意性から等式がほとんど確実に成り立ちます。

∎

1 次元の公式（定理 5.2［確率微分方程式］）との違いは、2 次の項に $\partial_{ij}f$ と共変分の組が全部現れることだけです。覚え方は $dW^a\,dW^b=\delta_{ab}\,dt$、$dt\,dW^a=0$、$(dt)^2=0$ のもとで 2 次まで Taylor 展開する、です。

注意 5.2

定理では係数と $f$ の 1 階・2 階導関数の有界性を仮定しました。これらは停止時刻による局所化で外せます。$\int_0^T(|\mu_u|+|\sigma_u|^2)\,du<\infty$ と $f\in C^{1,2}$ だけを仮定すると、公式は同じ形で成り立ちます。ただし確率積分は局所マルチンゲールとして定義し直す必要があります（Karatzas–Shreve 第 3.3 節、Revuz–Yor 第 IV.3 節）。下の積の公式は、$f(x,y)=xy$ の導関数が有界でないにもかかわらず、局所化を使わずに直接証明できます。

系 5.3（積の公式）✓

$X,Y$ を、有界係数の条件 (A) を満たす同じ伊藤過程の二つの成分とし（$dX=\mu^X\,dt+\sigma^X\cdot dW$、$dY=\mu^Y\,dt+\sigma^Y\cdot dW$）、$X_0,Y_0\in L^2(\Omega)$ とします。このとき $X\sigma^Y,Y\sigma^X\in\mathcal{L}^2_d$ で、ほとんど確実にすべての $t$ について

$$X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^tX_u\,dY_u+\int_0^tY_u\,dX_u+\langle X,Y\rangle_t,$$

ここで $\int_0^tX_u\,dY_u:=\int_0^tX_u\mu^Y_u\,du+\int_0^tX_u\sigma^Y_u\cdot dW_u$、$\langle X,Y\rangle_t=\int_0^t\sigma^X_u\cdot\sigma^Y_u\,du$ です。

証明（系 5.3）

$v<w$ について、補題 3.1 から

$$\mathbb{E}|X_w-X_v|^2\le2\,\mathbb{E}\Bigl(\int_v^w\mu^X\,du\Bigr)^2+2\,\mathbb{E}\Bigl(\int_v^w\sigma^X\cdot dW\Bigr)^2\le2K^2(w-v)^2+2dK^2(w-v).$$

特に $\mathbb{E}[X_u^2]\le2\,\mathbb{E}[X_0^2]+4K^2T^2+4dK^2T$ は $u$ について有界で、$|\sigma^Y|\le\sqrt dK$ なので $X\sigma^Y\in\mathcal{L}^2_d$ です。

分割 $\Pi$ について、代数的な恒等式

$$X_tY_t-X_0Y_0=\sum_kX_{t_k}\Delta Y_k+\sum_kY_{t_k}\Delta X_k+\sum_k\Delta X_k\Delta Y_k$$

が剰余なしに成り立ちます。第 3 の和は 定理 4.1（$G=1$）により $\langle X,Y\rangle_t$ に $L^1$ で収束します。第 1 の和は、$X^\Pi_u:=X_{t_k}$（$u\in(t_k,t_{k+1}]$）とおくと 補題 2.4 の近似版により $\int_0^tX^\Pi\mu^Y\,du+\int_0^tX^\Pi\sigma^Y\cdot dW$ に等しいです（$X_{t_k}$ は有界とは限らないので、$X_{t_k}$ を $(-N)\vee X_{t_k}\wedge N$ で置き換えた等式で $N\to\infty$ とし、両辺の $L^2$ 収束を使います）。ドリフトの積分は道ごとに優収束定理で $\int_0^tX\mu^Y\,du$ に収束します（$|X^\Pi|\le\sup_{u\le t}|X_u|<\infty$）。確率積分については、上の評価から

$$\mathbb{E}\int_0^t|X^\Pi_u-X_u|^2|\sigma^Y_u|^2\,du\le dK^2\,t\,\bigl(2K^2\|\Pi\|^2+2dK^2\|\Pi\|\bigr)\longrightarrow0$$

なので、等長性から $L^2(\Omega)$ で $\int_0^tX\sigma^Y\cdot dW$ に収束します。第 2 の和も同じです。左辺は $\Pi$ によらないので等式が従い、両辺の連続性からすべての $t$ で同時に成り立ちます。

∎

例 5.4（Brown 運動のノルムの 2 乗）

$X=Y=W^a$ に 系 5.3 を使うと $(W^a_t)^2=2\int_0^tW^a\,dW^a+t$ です。$a$ について足すと

$$|W_t|^2=2\int_0^tW_u\cdot dW_u+d\,t .$$

右辺の確率積分は平均 $0$ なので $\mathbb{E}|W_t|^2=dt$ です。また $a\ne b$ なら $\langle W^a,W^b\rangle=0$ なので $W^a_tW^b_t=\int_0^tW^a\,dW^b+\int_0^tW^b\,dW^a$ で、$W^aW^b$ はマルチンゲールです。

例 5.5（後ろ向き熱方程式の解とマルチンゲール）

$u\in\mathbb{R}^d$ を固定し、$f(t,x)=\cos(u\cdot x)\,e^{|u|^2t/2}$ とおきます。$\partial_tf=\frac{|u|^2}{2}f$、$\sum_a\partial_{aa}f=-|u|^2f$ なので $\partial_tf+\frac12\Delta f=0$ です。$[0,T]$ 上で $f$ の $x$ についての 1 階・2 階導関数は有界なので、定理 5.1（$X=W$、$\mu=0$、$\sigma=I_d$）から

$$\cos(u\cdot W_t)\,e^{|u|^2t/2}=1-\int_0^t\sin(u\cdot W_s)\,e^{|u|^2s/2}\,u\cdot dW_s .$$

右辺はマルチンゲールなので $\mathbb{E}[\cos(u\cdot W_t)]=e^{-|u|^2t/2}$ で、Gauss 分布の特性関数が伊藤公式から再現されます。一般に $\partial_tf+\frac12\Delta f=0$ を満たす $f$ について $f(t,W_t)$ はマルチンゲールになり、これが Feynman–Kac 公式（Feller 過程の章）の最も簡単な場合です。

6. Lévy の特徴付け

マルチンゲールとブラウン運動の章 の 定理 6.1［マルチンゲールとブラウン運動］ で、Brown 運動 $B$ について $B_t$ と $B_t^2-t$ がマルチンゲールであることを見ました。この節ではその逆を証明します。この節では時間を $[0,\infty)$ とします。証明には停止時刻（その時刻までの情報で「もう起きたか」を判定できるランダムな時刻）を使います。

補題 6.1（止めた連続マルチンゲール）✓

$(M_t)_{t\ge0}$ を道が連続な $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲール、$\tau$ を停止時刻とします。このとき $(M_{t\wedge\tau})_{t\ge0}$ も $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールです。

証明（補題 6.1）

適合性: $t$ を固定し、$\sigma_n:=t\wedge(\lceil2^n\tau\rceil/2^n)$ とおくと、$\sigma_n$ は $t$ 以下の有限個の値（2 進有理数と $t$）しかとらず、各値 $q<t$ について $\{\sigma_n=q\}=\{q-2^{-n}<\tau\le q\}\in\mathcal{F}_q\subset\mathcal{F}_t$ です。よって $M_{\sigma_n}$ は $\mathcal{F}_t$-可測で、$\sigma_n\downarrow t\wedge\tau$ と道の連続性から $M_{t\wedge\tau}=\lim M_{\sigma_n}$ も $\mathcal{F}_t$-可測です。可積分性は 定理 6.2［マルチンゲールとブラウン運動］ (a) の主張に含まれます。

マルチンゲール性: $s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$ とし、$\rho:=\tau\wedge s$（$A$ の上）、$\rho:=\tau\wedge t$（$A^c$ の上）とおきます。$r<s$ なら $\{\rho\le r\}=\{\tau\le r\}$、$s\le r<t$ なら $\{\rho\le r\}=A\cup(A^c\cap\{\tau\le r\})$、$r\ge t$ なら $\{\rho\le r\}=\Omega$ で、いずれも $\mathcal{F}_r$ に属するので $\rho$ は停止時刻です。定理 6.2［マルチンゲールとブラウン運動］ (a) を停止時刻 $\rho$ と $\tau$ に（定数 $t$ で）適用すると $\mathbb{E}[M_{t\wedge\rho}]=\mathbb{E}[M_0]=\mathbb{E}[M_{t\wedge\tau}]$ です。$t\wedge\rho$ は $A$ の上で $\tau\wedge s$、$A^c$ の上で $\tau\wedge t$ なので、差を取ると $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A(M_{\tau\wedge s}-M_{\tau\wedge t})]=0$ を得ます。

∎

補題 6.2（特性関数による独立性と分布の判定）✓

$Y$ を $\mathbb{R}^d$ 値確率変数、$\mathcal{G}$ を部分 σ-加法族、$h\ge0$ とし、すべての $A\in\mathcal{G}$ と $u\in\mathbb{R}^d$ について

$$\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_Ae^{iu\cdot Y}\bigr]=\mathbb{P}(A)\,e^{-|u|^2h/2}$$

が成り立つとします。このとき $Y$ は $\mathcal{G}$ と独立で、$N(0,hI_d)$ に従います。

証明（補題 6.2）

$A=\Omega$ とすると $Y$ の特性関数は $e^{-|u|^2h/2}$ で、これは $N(0,hI_d)$ の特性関数です（補題 2.3［特性関数と Gauss ベクトル］ を成分ごとに使い、独立な成分の積を取ります）。定理 3.3［特性関数と Gauss ベクトル］ から $Y\sim N(0,hI_d)=:\gamma_h$ です。$\mathbb{P}(A)>0$ なる $A\in\mathcal{G}$ については、確率測度 $\mathbb{P}(\cdot\mid A)$ のもとでの $Y$ の特性関数も仮定から $e^{-|u|^2h/2}$ なので、同じ定理により $\mathbb{P}(Y\in B\mid A)=\gamma_h(B)$ です。よって $\mathbb{P}(A\cap\{Y\in B\})=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(Y\in B)$ で、$\mathbb{P}(A)=0$ のときも両辺は $0$ です。

∎

次が証明の核心です。伊藤積分を使わず、$e^{i\lambda x}$ の Taylor 展開とマルチンゲール差の直交性だけを使います。

証明の流れは次のとおりです。過程がまだ大きく動いていない間だけ追いかけ、増分が $\pm K$ の帯から出た時刻 $\tau$ で止めると、止めた過程は常に $[-K,K]$ に収まります。有界になれば Taylor 展開の剰余を評価できるので、各小区間で 3 次の項を無視してよいことが示せ、止めた過程の特性関数が正規分布のものになります。最後に $K\to\infty$ として停止を外します。

Lévy の特徴付けの証明で使う停止。増分 N_r − N_s が ±K の帯を出た時刻 τ で止めると、止めた過程は有界になり、分割 r_0 < r_1 < … の各区間で 3 次の Taylor 展開が使える

補題 6.3（Lévy の特徴付けの 1 次元の核）✓

$(N_t)_{t\ge0}$ を道が連続な $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールで、各 $N_t$ が二乗可積分、かつ $N_t^2-t$ も $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールであるとします。このとき $0\le s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$、$\lambda\in\mathbb{R}$ について

$$\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_A\,e^{i\lambda(N_t-N_s)}\bigr]=\mathbb{P}(A)\,e^{-\lambda^2(t-s)/2}.$$

証明（補題 6.3）

停止による有界化。 $K>0$ とし、$\tau:=\inf\{r\ge s:|N_r-N_s|\ge K\}\wedge t$ とおきます。道の連続性から、$s\le r<t$ について $\{\tau\le r\}=\bigcap_{m}\bigcup_{q}\{|N_q-N_s|>K-1/m\}$（$q$ は $[s,r]$ の有理数と $r$ を動く）は $\mathcal{F}_r$ に属し、$\tau$ は停止時刻です。$r\in[s,t]$ について $X_r:=N_{r\wedge\tau}-N_s$ とおくと $|X_r|\le K$ です。補題 6.1 を $N$ と $N^2-t$ に適用すると、$s\le r\le r'\le t$ について $\Delta:=X_{r'}-X_r$、$\delta:=r'\wedge\tau-r\wedge\tau\in[0,r'-r]$ は

$$\mathbb{E}[\Delta\mid\mathcal{F}_r]=0,\qquad\mathbb{E}[\Delta^2-\delta\mid\mathcal{F}_r]=0$$

を満たします。後者は $\Delta^2=N_{r'\wedge\tau}^2-N_{r\wedge\tau}^2-2N_{r\wedge\tau}\Delta$ と、$N_{r\wedge\tau}=N_s+X_r$ が二乗可積分であることから 定理 4.4［条件付き期待値］ で従います。

離散的な展開。 $\Phi(r):=\exp\bigl(i\lambda X_r+\tfrac12\lambda^2(r\wedge\tau-s)\bigr)$ とおくと、$\Phi(r)$ は $\mathcal{F}_r$-可測で $|\Phi(r)|\le e^{\lambda^2(t-s)/2}$ です。分割 $s=r_0<r_1<\dots<r_m=t$ を取り、$\Delta_k=X_{r_{k+1}}-X_{r_k}$、$\delta_k=r_{k+1}\wedge\tau-r_k\wedge\tau$ とおくと $\Phi(r_{k+1})=\Phi(r_k)\,g(\Delta_k,\delta_k)$、$g(x,y)=e^{i\lambda x+\lambda^2y/2}$ です。$w=i\lambda x+\frac12\lambda^2y$ について $e^w=1+w+\frac12w^2+R$、$|R|\le\frac16|w|^3e^{|w|}$ で、$\frac12w^2=-\frac12\lambda^2x^2+\frac{i}{2}\lambda^3xy+\frac18\lambda^4y^2$ ですから

$$g(x,y)=1+i\lambda x+\tfrac12\lambda^2(y-x^2)+\rho(x,y),\qquad|\rho(x,y)|\le c\,\bigl(|x|^3+|x|y+y^2\bigr)$$

が $|x|\le2K$、$0\le y\le t-s$ の範囲で成り立ちます（$c$ は $\lambda,K,t-s$ だけで決まる定数。$|w|^3\le4(|\lambda x|^3+\frac18\lambda^6y^3)$ と $y^3\le(t-s)y^2$ を使います）。$\mathbf{1}_A\Phi(r_k)$ は有界で $\mathcal{F}_{r_k}$-可測なので、上の二つの条件付き期待値から

$$\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\Phi(r_{k+1})]-\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\Phi(r_k)]=\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_A\Phi(r_k)\,\rho(\Delta_k,\delta_k)\bigr].$$

$k$ について足すと、$\Phi(r_0)=1$ より

$$\bigl|\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\Phi(t)]-\mathbb{P}(A)\bigr|\le c\,e^{\lambda^2(t-s)/2}\,\mathbb{E}\Bigl[\sum_k\bigl(|\Delta_k|^3+|\Delta_k|\delta_k+\delta_k^2\bigr)\Bigr].$$

右辺が消えること。 $\|\Pi\|=\max_k(r_{k+1}-r_k)$ とします。まず $\sum_k\delta_k\le t-s$ と $\mathbb{E}\sum_k\Delta_k^2=\mathbb{E}\sum_k\delta_k\le t-s$ です。

• $\sum_k\delta_k^2\le\|\Pi\|(t-s)$。
• Cauchy–Schwarz の不等式から $\mathbb{E}\sum_k|\Delta_k|\delta_k\le(\mathbb{E}\sum_k\Delta_k^2)^{1/2}(\mathbb{E}\sum_k\delta_k^2)^{1/2}\le(t-s)\|\Pi\|^{1/2}$。
• $\sum_k|\Delta_k|^3\le\max_k|\Delta_k|\cdot Q$、$Q:=\sum_k\Delta_k^2$ なので $\mathbb{E}\sum_k|\Delta_k|^3\le(\mathbb{E}\max_k\Delta_k^2)^{1/2}(\mathbb{E}Q^2)^{1/2}$。ここで $\mathbb{E}Q^2$ は分割によらず有界です。実際 $Q^2=\sum_k\Delta_k^4+2\sum_k\Delta_k^2\sum_{l>k}\Delta_l^2$ で、$\Delta_k^4\le4K^2\Delta_k^2$、また $l\ne l'$ のとき $\mathbb{E}[\Delta_l\Delta_{l'}\mid\mathcal{F}_{r_{k+1}}]=0$（$l,l'>k$）なので $\mathbb{E}[\sum_{l>k}\Delta_l^2\mid\mathcal{F}_{r_{k+1}}]=\mathbb{E}[(X_t-X_{r_{k+1}})^2\mid\mathcal{F}_{r_{k+1}}]\le4K^2$ です。よって $\mathbb{E}Q^2\le4K^2(t-s)+8K^2(t-s)=12K^2(t-s)$。一方 $\max_k\Delta_k^2\le4K^2$ で、道 $r\mapsto X_r$ の一様連続性から各 $\omega$ で $\max_k|\Delta_k|\to0$ なので、優収束定理により $\mathbb{E}\max_k\Delta_k^2\to0$。

したがって $\|\Pi\|\to0$ とすると $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\Phi(t)]=\mathbb{P}(A)$ です。

停止を外す。 $K$ を $K\to\infty$ とします。$\sup_{r\in[s,t]}|N_r-N_s|<K$ となる $\omega$ では $\tau=t$ なので、各 $\omega$ で $K$ が十分大きければ $\Phi(t)=e^{i\lambda(N_t-N_s)+\lambda^2(t-s)/2}$ です。$|\Phi(t)|\le e^{\lambda^2(t-s)/2}$ なので、優収束定理から $\mathbb{E}[\mathbf{1}_Ae^{i\lambda(N_t-N_s)}]\,e^{\lambda^2(t-s)/2}=\mathbb{P}(A)$ を得ます。

∎

定理 6.4（Lévy の特徴付け）✓

$M=(M^1,\dots,M^d)$ を $(\mathcal{F}_t)$ に適合した $\mathbb{R}^d$ 値の過程で、$M_0=0$、すべての道が連続、各 $M^i$ が二乗可積分な $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールであり、さらにすべての $i,j$ について $M^i_tM^j_t-\delta_{ij}t$ が $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールであるとします（すなわち $\langle M^i,M^j\rangle_t=\delta_{ij}t$）。このとき $M$ は $d$ 次元 $(\mathcal{F}_t)$-Brown 運動です。

証明（定理 6.4）

定義 2.1 の条件 (1)(2) は仮定です。条件 (3) を示します。$u\in\mathbb{R}^d$, $u\ne0$ を固定し、$N_t:=u\cdot M_t/|u|$ とおきます。$N$ は道が連続な二乗可積分マルチンゲールで、

$$N_t^2-t=\frac{1}{|u|^2}\sum_{i,j}u_iu_j\bigl(M^i_tM^j_t-\delta_{ij}t\bigr)$$

はマルチンゲールの線形結合なのでマルチンゲールです。補題 6.3 を $\lambda=|u|$ で適用すると、$s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$ について

$$\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_Ae^{iu\cdot(M_t-M_s)}\bigr]=\mathbb{P}(A)\,e^{-|u|^2(t-s)/2}$$

で、$u=0$ でも自明に成り立ちます。補題 6.2 から $M_t-M_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で $N(0,(t-s)I_d)$ に従います。

∎

連続性の仮定は外せません。演習 7.4 で見るように、跳びのあるマルチンゲールでは $M_t^2-t$ がマルチンゲールでも Brown 運動にはなりません。証明の中で連続性を使ったのは、停止した過程が有界になる箇所と、$\max_k|\Delta_k|\to0$ の箇所です。

例 6.5（符号で折り返した積分）

$d=1$ とし、$\operatorname{sgn}(x)=1$（$x>0$）、$-1$（$x\le0$）として $\beta_t:=\int_0^t\operatorname{sgn}(W_u)\,dW_u$ とおきます。$\operatorname{sgn}(W_u)$ は連続な適合過程のボレル関数なので発展的可測で、有界です。$\beta$ は連続なマルチンゲールで、命題 3.2 から $\beta_t^2-\int_0^t\operatorname{sgn}(W_u)^2\,du=\beta_t^2-t$ もマルチンゲールです（任意の $T$ で成り立つので $[0,\infty)$ 上で成り立ちます）。定理 6.4 により $\beta$ は Brown 運動です。$\beta$ は $W$ の符号を見て向きを変えた過程なので、見かけ上 $W$ と強く依存していますが、分布は Brown 運動そのものです。

例 6.6（ランダムな回転）

$O_u$ を発展的可測な過程で、各 $(u,\omega)$ で $d\times d$ の直交行列であるものとし、$\tilde W_t:=\int_0^tO_u\,dW_u$（成分は $\tilde W^i=\sum_a\int O^{ia}\,dW^a$）とおきます。命題 3.2 から $\tilde W^i\tilde W^j-\int_0^t(O_uO_u^{\mathsf T})^{ij}\,du=\tilde W^i\tilde W^j-\delta_{ij}t$ はマルチンゲールで、定理 6.4 により $\tilde W$ は $d$ 次元 Brown 運動です。回転を時刻ごとに、過去の道に応じて選び直しても、Brown 運動の等方性は崩れません。

7. 演習

演習 7.1易

$d=2$ とし、$W^1_tW^2_t$ を 系 5.3 で確率積分として表し、それを使って $\mathbb{E}[(W^1_tW^2_t)^2]=t^2$ を示してください。

解答

$\langle W^1,W^2\rangle=0$ なので $W^1_tW^2_t=\int_0^tW^2_u\,dW^1_u+\int_0^tW^1_u\,dW^2_u=\int_0^tH_u\cdot dW_u$、$H=(W^2,W^1)$ です。補題 3.1 により

$$\mathbb{E}[(W^1_tW^2_t)^2]=\mathbb{E}\int_0^t\bigl((W^2_u)^2+(W^1_u)^2\bigr)\,du=\int_0^t2u\,du=t^2 .$$

独立性から直接 $\mathbb{E}[(W^1_t)^2]\,\mathbb{E}[(W^2_t)^2]=t\cdot t$ と計算した値と一致します。

演習 7.2標準

$a\in\mathbb{R}$ とし、1 次元 Brown 運動 $W$ について $m(t):=\mathbb{E}[W_t^2\cos(aW_t)]$ とおきます。$g(x)=x^2\cos(ax)$ は導関数が有界でないので、定理 5.1 をそのままは使えません。$\chi\in C^\infty(\mathbb{R})$ を $|x|\le1$ で $1$、$|x|\ge2$ で $0$、$0\le\chi\le1$ なる関数とし、$g_N(x)=g(x)\chi(x/N)$ に伊藤公式を適用して $N\to\infty$ とすることで

$$m'(t)=\mathbb{E}[\cos(aW_t)]-2a\,\mathbb{E}[W_t\sin(aW_t)]-\frac{a^2}{2}m(t)$$

を導いてください。さらに $m(t)=(t-a^2t^2)e^{-a^2t/2}$ がこれを満たすことを確かめてください。

解答

$g_N$ は導関数が有界なので、定理 5.1（$X=W$、$\mu=0$、$\sigma=1$）と確率積分の平均が $0$ であることから $\mathbb{E}[g_N(W_t)]=\frac12\int_0^t\mathbb{E}[g_N''(W_u)]\,du$ です。$g_N''=g''\chi(\cdot/N)+2g'\chi'(\cdot/N)/N+g\chi''(\cdot/N)/N^2$ で、$\chi'(\cdot/N)$ と $\chi''(\cdot/N)$ は $N\le|x|\le2N$ の外では $0$ なので、$|g|\le x^2$、$|g'|\le2|x|+|a|x^2$ から $|g_N|+|g_N''|\le c(1+x^2)$（$c$ は $N$ によらない）です。$\mathbb{E}[W_u^2]=u$ なので、優収束定理により $N\to\infty$ で $m(t)=\frac12\int_0^t\mathbb{E}[g''(W_u)]\,du$ を得ます。$g''(x)=2\cos(ax)-4ax\sin(ax)-a^2x^2\cos(ax)$ を代入して $t$ で微分すると求める式です。

例 5.5 から $\mathbb{E}[\cos(aW_t)]=e^{-a^2t/2}$、これを $a$ で微分して $\mathbb{E}[W_t\sin(aW_t)]=at\,e^{-a^2t/2}$ です（微分と期待値の交換は優収束定理による）。よって $m'(t)=(1-2a^2t)e^{-a^2t/2}-\frac{a^2}{2}m(t)$ で、$m(t)=(t-a^2t^2)e^{-a^2t/2}$ を代入すると左辺は $(1-2a^2t)e^{-a^2t/2}-\frac{a^2}{2}(t-a^2t^2)e^{-a^2t/2}$ となり右辺に一致します。$m(0)=0$ なので、1 階線形常微分方程式の解の一意性からこれが $m$ です。検算として、$m(t)=-\frac{d^2}{da^2}e^{-a^2t/2}$ からも同じ式が出ます。

演習 7.3標準

$d=2$ とし、$\theta_u:=W^1_u$ として

$$B_t=\int_0^t\bigl(\cos\theta_u\,dW^1_u+\sin\theta_u\,dW^2_u\bigr),\qquad B'_t=\int_0^t\bigl(-\sin\theta_u\,dW^1_u+\cos\theta_u\,dW^2_u\bigr)$$

とおきます。$(B,B')$ が 2 次元 Brown 運動であることを示してください。

解答

$O_u=\begin{pmatrix}\cos\theta_u&\sin\theta_u\\-\sin\theta_u&\cos\theta_u\end{pmatrix}$ は各 $(u,\omega)$ で直交行列で、$\theta_u=W^1_u$ が連続な適合過程なので発展的可測です。$(B,B')=\int O\,dW$ なので 例 6.6 から従います。直接には、命題 3.2 により $B^2-t$、$B'^2-t$（$\cos^2+\sin^2=1$）と $BB'$（$-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta=0$）がマルチンゲールで、定理 6.4 を使います。

演習 7.4難

$(P_t)$ を強度 $1$ の Poisson 過程とし、その自然なフィルトレーションを $(\mathcal{F}_t)$ とします。$M_t:=P_t-t$ について、$M_t$ と $M_t^2-t$ がどちらも $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールであることを示し、それでも $M$ が Brown 運動でない理由を述べてください。定理 6.4 のどの仮定が破れていますか。

解答

定理 4.5［Markov 連鎖と Poisson 過程］ により $P_t-P_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で平均 $t-s$、分散 $t-s$ の Poisson 分布に従います。よって $\mathbb{E}[M_t-M_s\mid\mathcal{F}_s]=0$、また

$$\mathbb{E}[M_t^2-M_s^2\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[(M_t-M_s)^2\mid\mathcal{F}_s]+2M_s\,\mathbb{E}[M_t-M_s\mid\mathcal{F}_s]=t-s$$

なので $M_t^2-t$ もマルチンゲールです。しかし $M_t+t=P_t$ は整数値なので $M_t$ は正規分布に従いません。破れているのは道の連続性の仮定で、$P$ は高さ $1$ の跳びを持ちます。補題 6.3 の証明では $\max_k|\Delta_k|\to0$ を使いましたが、跳びがあるとこの量は $1$ 以上のまま残り、Taylor 展開の 3 次の剰余が消えません。

参考文献

• I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 3.2 節（確率積分と 2 次変分）、第 3.3 節（伊藤の公式と Lévy の特徴付け）。
• D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999 — 第 IV 章（確率積分・伊藤の公式）、第 IV.3 節（Lévy の特徴付け）。
• J.-F. Le Gall, Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus, Springer, 2016 — 第 5 章（伊藤の公式とその応用）。
• B. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003 — 第 4.2 節（多次元伊藤公式）、第 8.6 節（Lévy の特徴付けの応用）。
• 舟木直久『確率微分方程式』岩波書店、2005 — 伊藤の公式と確率積分の章。