有界な単純過程による近似

補題 2.3（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§2）・ ✓公理まで証明済み

$H$ を $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で、定数 $L$ について $|H_u(\omega)|\le L$ （Euclid ノルム）とします。このとき、 $[0,T]$ の等分割の上の単純過程（各成分が定義 4.1［確率微分方程式］の意味で単純） $H^{(n)}$ で、 $|H^{(n)}|\le L$ かつ $\mathbb{E}\int_0^T|H^{(n)}_u-H_u|^2\,du\to0$ となるものが存在します。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度
    可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

有界な指数のマルチンゲール性✓定理 3.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

有界な単純過程による近似

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件