数学 › 確率論 › 多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

確率積分からの既知量の取り出し

補題 2.4（「多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 59 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
• 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式

  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

      • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    • 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度

      • 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
• 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式

  • 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式

    • 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値

      • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
      • 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値 この先をたどる →
  • 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  • リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入

    • 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  • ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式

    • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値

      • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 三角指数関数の確率積分表示✓補題 5.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
• 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
• 多次元伊藤公式✓定理 5.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
• 積の公式✓系 5.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け