三角指数関数の確率積分表示

補題 5.1（「Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$0=t_0<t_1<\dots<t_m=T$ を分割、 $\lambda_0,\dots,\lambda_{m-1}\in\mathbb{R}^d$ とし、 $\lambda(u)=\lambda_k$ （ $u\in(t_k,t_{k+1}]$ ）とおきます。

\Psi_t:=\exp\Bigl(i\int_0^t\lambda(u)\cdot dW_u+\frac12\int_0^t|\lambda(u)|^2du\Bigr)

は有界（ $|\Psi_t|\le e^{\frac12\int_0^T|\lambda|^2}$ ）で、ほとんど確実に

\Psi_T=1+\int_0^T\Psi_u\,i\lambda(u)\cdot dW_u

が成り立ちます（右辺は実部と虚部それぞれが $\mathcal{L}^2_d$ の被積分過程による確率積分）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 92 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多次元伊藤公式✓定理 5.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
- 共変分の離散近似✓定理 4.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
    確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
    伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
    独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値この先をたどる →
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - 伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
    独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac この先をたどる →
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
    有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付けこの先をたどる →
    条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
    マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
    ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値この先をたどる →
    条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- マルコフの不等式✓定理 6.1・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
- 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
  - 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

伊藤のマルチンゲール表現定理✓定理 5.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理

三角指数関数の確率積分表示

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件