ランジュバン方程式の性質（摩擦とノイズの関係）

定理 5.1（「ゆらぎ・線形応答・非平衡」§5）・ ✓公理まで証明済み

(i) $v_0$ が $B$ と独立で $N(0,s^2)$ に従うとき、 $v_t$ がすべての $t$ で同じ分布 $N(0,s^2)$ に従う（定常）ための必要十分条件は、 $s^2=\sigma^2/(2\gamma)$ である。

(ii) 定常分布がマクスウェル分布 $N(0,k_{\mathrm B}T/m)$ であるための条件は

\sigma^2=\frac{2\gamma k_{\mathrm B}T}{m}.

このとき定常相関関数は $\langle v_tv_s\rangle=\dfrac{k_{\mathrm B}T}{m}e^{-\gamma|t-s|}$ である。

(iii) 位置 $x_t=x_0+\int_0^tv_s\,ds$ の平均二乗変位は

\langle(x_t-x_0)^2\rangle=\frac{2k_{\mathrm B}T}{m\gamma}\Bigl[t-\frac{1-e^{-\gamma t}}{\gamma}\Bigr],

$t\ll1/\gamma$ では $\frac{k_{\mathrm B}T}{m}t^2$ （等速運動）、 $t\gg1/\gamma$ では $2Dt$ 、 $D=\dfrac{k_{\mathrm B}T}{m\gamma}$ （拡散）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 117 件、定義なども含めて 140 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ブラウン運動（ウィーナー過程）定義 5.1・マルチンゲールとブラウン運動
Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式
- 解の存在と一意性✓定理 6.3・確率微分方程式
  - 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式
    伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式この先をたどる →
    単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
    リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式（上で展開済み）
  - グロンウォールの不等式✓補題 6.2・確率微分方程式
  - ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値この先をたどる →
- 伊藤過程定義 5.1・確率微分方程式
- 伊藤の公式✓定理 5.2・確率微分方程式
  - 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
  - ブラウン運動の二次変分✓定理 3.1・確率微分方程式
- ウィーナー積分の分布と独立性✓命題 4.8・確率微分方程式
  - 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値この先をたどる →
    条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値この先をたどる →
  - 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
  - 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
- 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
  - 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
    確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
- 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ランジュバン方程式の性質（摩擦とノイズの関係）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 4 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）