情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

条件づけは分散を増やさない

命題 5.2（「Monte Carlo 積分と分散低減」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 122 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値

  • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値

    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値

      • Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
• 全分散の分解✓補題 5.1・Monte Carlo 積分と分散低減

  • 条件付き期待値定義 3.1・条件付き期待値
  • 条件付き期待値は直交射影✓定理 5.1・条件付き期待値

    • $L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値

      • 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • 条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値（上で展開済み）
      • タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
    • 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値

      • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
      • 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値 この先をたどる →
    • タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
  • 条件付き分散定義 5.3・条件付き期待値
  • タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
• 条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値

  • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値

    • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
• Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減

  • 大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
    • 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
    • マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
  • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

    • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
  • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値

    • 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    • 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
  • 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理

    • 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
    • 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
    • レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理 この先をたどる →
    • 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
  • 収束概念の含意✓定理 3.6・大数の法則と中心極限定理

    • 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理 この先をたどる →
    • マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
  • スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
  • 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。