数学 › 確率論 › 条件付き期待値

条件付き期待値は直交射影

定理 5.1（「条件付き期待値」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X \in L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$ とし $\hat{X} = E[X\mid\mathcal{G}]$ とおく。このとき次が成り立つ。

$\hat{X} \in L^2(\Omega,\mathcal{G},P)$ である。
任意の $W \in L^2(\Omega,\mathcal{G},P)$ に対し $E\bigl[(X - \hat{X})W\bigr] = 0$ 、すなわち $X - \hat{X}$ は $L^2(\Omega,\mathcal{G},P)$ と直交する。
任意の $W \in L^2(\Omega,\mathcal{G},P)$ に対し $E\bigl[(X-W)^2\bigr] = E\bigl[(X-\hat{X})^2\bigr] + E\bigl[(\hat{X}-W)^2\bigr]$ 。とくに $E[(X-W)^2]$ は $W = \hat{X}$ で最小になり、最小化する $W$ はほとんど確実に一意である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値
- 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- 条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
- タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
    Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

全分散の分解✓補題 5.1・Monte Carlo 積分と分散低減
Rao–Blackwell の定理✓定理 6.1・統計モデルと十分統計量
二乗損失のベイズ推定量は事後平均✓定理 8.2・点推定と漸近理論
Nelson の超縮小性（無限次元）✓定理 4.6・Gauss 解析の道具

条件付き期待値は直交射影

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件