Rao–Blackwell の定理

定理 6.1（「統計モデルと十分統計量」§6）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を十分統計量、 $\delta$ を $\tau(\theta)$ の推定量（可積分）とし、 $\delta^*=E[\delta\mid T]$ とおく。十分性により、これは $\theta$ によらない $T$ の関数なので統計量である。このとき：

$E_\theta[\delta^*]=E_\theta[\delta]$ 。特に $\delta$ が不偏なら $\delta^*$ も不偏。
損失 $L(\theta,d)$ が $d$ の凸関数ならば、リスク $R(\theta,\delta)=E_\theta L(\theta,\delta)$ について $R(\theta,\delta^*)\le R(\theta,\delta)$ 。
二乗損失で $\delta\in L^2$ なら $\mathrm{MSE}_\theta(\delta)=\mathrm{MSE}_\theta(\delta^*)+E_\theta[(\delta-\delta^*)^2]$ 。したがって $\delta^*$ の MSE は $\delta$ のそれ以下で、等号は $\delta=\delta^*$ a.s. のときに限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値
    Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値
- 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
  - 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
条件付き期待値は直交射影✓定理 5.1・条件付き期待値
- $L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値
  - 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値（上で展開済み）
  - タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  - 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
- タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）

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