数理統計学

数学学部無料 4 章有料 0 章

統計モデルと十分統計量、点推定と漸近理論、検定と区間推定、線形モデルを扱う。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:確率論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章統計モデルと十分統計量無料統計モデルと推定量の定義から出発し、因子分解定理、指数型分布族の積率と完備性を証明し、条件付き期待値による推定量の改良（Rao–Blackwell）と一様最小分散不偏推定量の一意性（Lehmann–Scheffé）を導く。
2. 第 2 章点推定と漸近理論無料Fisher 情報と Cramér–Rao の不等式、最尤推定量の一致性（Cramér の定理）と漸近正規性を正則条件のもとで証明し、delta 法で関数の推定量へ展開する。ベイズ推定は事後平均の最適性と共役事前分布で扱う。
3. 第 3 章検定と区間推定無料検定の誤りと検出力の枠組みから Neyman–Pearson の補題（最適性と一意性）を証明し、単調尤度比で一様最強力検定へ拡張する。尤度比検定は Wilks の定理でカイ二乗分布に収束し、検定の反転が信頼区間を与える。
4. 第 4 章線形モデル無料線形モデルの最小二乗推定量を直交射影として導き、Gauss–Markov の定理を証明する。正規誤差のもとで Cochran の定理から t 分布・F 分布を得て検定と区間推定を行い、一般化最小二乗と相関のあるデータの誤差評価まで扱う。