物理学 › 構成的場の理論と Euclid 手法 › Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分有料章

Euclid 場と自由場の半群

命題 3.2（「Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 141 件、定義なども含めて 164 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 等長作用素の第二量子化は合成写像✓補題 5.1・ガウス測度と Q 空間表示

  • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
  • Q 空間の指数関数の全体性✓補題 4.3・ガウス測度と Q 空間表示（上で展開済み）
• ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
• 無相関ならば独立✓命題 5.3・特性関数と Gauss ベクトル

  • Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル

      • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
      • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
    • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル

    • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル

      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
• Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
• 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値

  • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値

    • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
  • 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値

    • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）
• 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値

  • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

    • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
  • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値

    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値 この先をたどる →
• Q 空間の指数関数の全体性✓補題 4.3・ガウス測度と Q 空間表示

  • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
• $L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値

  • 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入

    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
  • 条件付きイェンセンの不等式✓定理 4.6・条件付き期待値

    • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  • タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値（上で展開済み）
• タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値

  • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Feynman–Kac–Nelson 表示✓定理 4.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• spin-boson 模型の Feynman–Kac–Nelson 公式✓定理 3.1・spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示

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