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spin-boson 模型の Feynman–Kac–Nelson 公式

定理 3.1（「spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 247 件、定義なども含めて 279 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Feynman–Kac–Nelson 表示✓定理 4.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分

  • 紫外切断つき Nelson 模型の自己共役性✓定理 3.2・Nelson 模型と spin-boson 模型

    • A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル✓定理 4.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分 この先をたどる →
    • 直積分とテンソル積✓命題 5.4・Hilbert 空間のテンソル積と直積分 この先をたどる →
    • Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型（上で展開済み）
    • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定 この先をたどる →
    • 1 次の摂動を受けた自由場の下界✓命題 2.3・Nelson 模型と spin-boson 模型 この先をたどる →
  • Trotter 積公式✓定理 6.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群（上で展開済み）
  • Euclid 場と自由場の半群✓命題 3.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分（上で展開済み）
  • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
• Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型

  • 消滅作用素の $H_b$ 有界性✓補題 2.1・Nelson 模型と spin-boson 模型

    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
• 関数計算の収束✓命題 3.3・作用素の収束と摂動

  • 1 点判定✓補題 3.2・作用素の収束と摂動
• Trotter 積公式✓定理 6.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群

  • 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  • 本質的自己共役な和の Trotter 積公式✓系 7.4・Banach 空間の強連続半群

    • 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群（上で展開済み）
    • Trotter 積公式（Banach 空間版）✓系 7.3・Banach 空間の強連続半群（上で展開済み）
  • 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群

    • Lumer–Phillips の定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.6・1 径数ユニタリ群と強連続半群 この先をたどる →
    • 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
    • Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群 この先をたどる →
  • Trotter 積公式（Banach 空間版）✓系 7.3・Banach 空間の強連続半群

    • Chernoff の積公式✓定理 7.2・Banach 空間の強連続半群 この先をたどる →
• 遷移確率と Markov 性✓補題 2.2・spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示

  • 一様化による構成✓定理 5.2・Markov 連鎖と Poisson 過程

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • 独立定常増分✓定理 4.5・Markov 連鎖と Poisson 過程 この先をたどる →
    • n ステップ遷移確率✓命題 2.3・Markov 連鎖と Poisson 過程 この先をたどる →
• Euclid 場と自由場の半群✓命題 3.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分

  • 等長作用素の第二量子化は合成写像✓補題 5.1・ガウス測度と Q 空間表示

    • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
    • Q 空間の指数関数の全体性✓補題 4.3・ガウス測度と Q 空間表示（上で展開済み）
  • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
  • 無相関ならば独立✓命題 5.3・特性関数と Gauss ベクトル

    • Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
  • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  • 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値 この先をたどる →
  • 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値 この先をたどる →
  • Q 空間の指数関数の全体性✓補題 4.3・ガウス測度と Q 空間表示

    • ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示
  • $L^p$ 縮小性✓系 4.7・条件付き期待値 この先をたどる →
  • タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値 この先をたどる →
• ガウス確率過程の基本性質✓命題 3.2・ガウス測度と Q 空間表示

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 真空の行列要素と連続時間 Ising 模型✓系 3.2・spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示
• Ising 相関と量子力学の相関✓命題 4.2・spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示

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