A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル

定理 4.3（「Hilbert 空間のテンソル積と直積分」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ , $B$ をそれぞれ可分な $\mathcal{H}$ , $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素とし、 $\mathcal{D}_0 = D(A)\otimes_{\mathrm{alg}}D(B)$ 上で $C_0 = A\otimes1 + 1\otimes B$ 、すなわち $C_0(\varphi\otimes\psi) = A\varphi\otimes\psi + \varphi\otimes B\psi$ と定める。

$C_0$ は本質的に自己共役であり、その閉包 $C$ について $e^{itC} = e^{itA}\otimes e^{itB}$ $(t\in\mathbb{R})$ が成り立つ。
$\sigma(C) = \overline{\sigma(A)+\sigma(B)}$ 。ここで $\sigma(A)+\sigma(B) = \{\lambda+\mu : \lambda\in\sigma(A),\ \mu\in\sigma(B)\}$ 。
$W_A:\mathcal{H}\to L^2(M,m)$ , $W_B:\mathcal{K}\to L^2(N,n)$ を $A$ , $B$ を $M_a$ , $M_b$ に写す掛け算作用素表示とすると、 $C$ は $U(W_A\otimes W_B)$ （ $U$ は定理 3.5 のユニタリ）によって $L^2(M\times N)$ 上の $a(x)+b(y)$ を掛ける作用素にユニタリ同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
テンソル積の正規直交基底✓命題 3.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
不変な稠密部分空間と芯✓補題 4.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
掛け算作用素のスペクトル✓補題 2.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
- Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

これを使っている定理証明で参照している 12 件

しきい値と下界✓命題 2.4・2 電子原子と臨界核電荷
2 電子の自由なハミルトニアンのスペクトル✓命題 2.1・no-pair（Brown–Ravenhall）作用素
有界自己共役作用素のテンソル積のスペクトル✓定理 4.4・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
重心の分離✓命題 3.2・多体系と HVZ 定理
HVZ 定理✓定理 5.1・多体系と HVZ 定理
ハイゼンベルク描像の場の微分✓補題 2.1・場の量子論の模型の散乱理論
反磁性不等式とその帰結△系 5.3・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
紫外切断つき Nelson 模型の自己共役性✓定理 3.2・Nelson 模型と spin-boson 模型
有限の切断での Gross 変換後のハミルトニアン✓補題 7.10・Nelson 模型と spin-boson 模型
相互作用の L に関する評価✓補題 3.2・Pauli–Fierz 模型と赤外問題
小さい結合での自己共役性✓定理 3.3・Pauli–Fierz 模型と赤外問題
自己共役性と一様な下界✓定理 2.5・pull-through 公式と基底状態の一般論

A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 12 件

関連するノック 7 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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