数学 › Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理 › no-pair（Brown–Ravenhall）作用素有料章

2 電子の自由なハミルトニアンのスペクトル

命題 2.1（「no-pair（Brown–Ravenhall）作用素」§2） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 212 件、定義なども含めて 242 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル✓定理 4.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

  • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • テンソル積の正規直交基底✓命題 3.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 不変な稠密部分空間と芯✓補題 4.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 掛け算作用素のスペクトル✓補題 2.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

    • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
• Dirac–Coulomb 作用素の本質スペクトル✓定理 6.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 特別な自己共役拡大✓定理 4.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

      • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • チャネルごとの Hardy 型不等式✓補題 4.4・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

      • 半直線上の Hardy の不等式✓命題 7.1・Sobolev 空間
    • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

      • 最大作用素の定義域の原点での構造✓補題 4.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
      • 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
      • 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • 閉グラフ定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.3・非有界作用素

      • 閉グラフ定理✓定理 6.5・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
    • 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • Dirac–Coulomb 作用素の本質的自己共役性✓定理 4.5・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • Coulomb 型ポテンシャルの Kato–Rellich✓定理 3.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
  • $|x|^{-1/2}$ の相対コンパクト性✓補題 5.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    • Kato の不等式（相対論的 Hardy 不等式）✓定理 5.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • レゾルベントの差がコンパクトなら本質スペクトルは等しい✓補題 6.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • Weyl の判定法✓定理 5.4・スペクトルの分類（上で展開済み）
    • コンパクト作用素は弱収束を強収束に変える✓補題 6.1・スペクトルの分類
  • 自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素

    • 表象の固有分解✓補題 3.2・自由 Dirac 作用素 この先をたどる →
    • Sobolev 空間 Hˢ(ℝⁿ)定義 3.1・Sobolev 空間
    • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間 この先をたどる →
    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 離散スペクトルと本質スペクトル定義 5.1・スペクトルの分類
  • $D_ν$ の固有値と Sommerfeld の公式✓命題 4.7・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 特別な自己共役拡大✓定理 4.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
    • 最大作用素の定義域の原点での構造✓補題 4.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
• Weyl の判定法✓定理 5.4・スペクトルの分類

  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 本質スペクトルのスペクトル射影による特徴づけ✓命題 5.2・スペクトルの分類

    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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